回答：
#35 / 51ln | X-7 | -6 / 11ln | X-3 | -1/561（79 / 2LN（X ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ C#
说明：
由于分母已经被分解，我们需要做的部分分数就是求解常数：
#（3×^ 2-X）/（（X ^ 2 + 2）（X-3）（X-7））=（AX + B）/（X ^ 2 + 2）+ C /（X-3） + d /（X-7）#
请注意，我们需要两个 #X# 因为分子总是比分母低1度，所以在最左边的分数上有一个常数项。
我们可以通过左侧分母相乘，但这将是一项巨大的工作，所以我们可以聪明地使用掩盖方法。
我不会详细讨论这个过程，但基本上我们所做的是找出使分母等于零的原因（在这种情况下） #C# 它是 #X = 3#），并将其插入左侧并进行评估，同时覆盖对应于常数的因子，这给出了：
#C =（3（3）^ 2-3）/（（3 ^ 2 + 2）（文本（////））（3-7））= - 一十一分之六#
我们也可以这样做 #d#:
#d =（3（7）^ 2-7）/（（7 ^ 2 + 2）（7-3）（文本（////）））= 35/51#
掩盖方法仅适用于线性因素，因此我们不得不求解 #一个# 和 #B# 使用传统方法并乘以左侧分母：
#3倍^ 2-X =（AX + B）（X-3）（X-7）-6/11（X ^ 2 + 2）（X-7）+35/51（X ^ 2 + 2）（ X-3）#
如果我们乘以所有括号并将各种系数等同 #X# 和不变的术语，我们可以找出价值观 #一个# 和 #B#。这是一个相当冗长的计算，所以我只想为感兴趣的人留下一个链接：
点击这里
#A = -79 / 561#
#B = -94 / 561#
这给我们的积分是：
#int 35 /（51（x-7）） - 6 /（11（x-3）） - （79x + 94）/（561（x ^ 2 + 2）） dx#
前两个可以使用分母的相当简单的u替换来解决：
#35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int （79x）/（x ^ 2 + 2）+ 94 /（x ^ 2 + 2） dx#
我们可以将剩下的积分分成两部分：
#int （79x）/（x ^ 2 + 2）+ 94 /（x ^ 2 + 2） dx = int （79x）/（x ^ 2 + 2） dx + int 94 /（x ^ 2 + 2） dx#
我将左边的一个称为Integral 1，将右侧的一个称为Integral 2。
积分1
我们可以通过u替换来解决这个问题 #U = X ^ 2 + 2#。衍生物是 ##2倍所以我们除以 ##2倍 与…相融合 #U#:
#79int x /（x ^ 2 + 2） dx = 79int cancel（x）/（2cancel（x）u） du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2LN | X ^ 2 + 2 | + C#
积分2
我们希望将这一点整合到表格中 #^谭-1#:
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
如果我们引入替代 #X = sqrt2u#，我们将能够将我们的积分转换为这种形式。相互融合 #U#，我们必须乘以 #SQRT2# （因为我们采用了衍生物 #U# 代替 #X#):
#94int 1 /（x ^ 2 + 2） dx = 94sqrt2int 1 /（（sqrt2u）^ 2 + 2） du =#
#= 94sqrt2int 1 /（2u ^ 2 + 2） du = 94 / 2sqrt2int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 47sqrt2tan ^ -1（U）+ C = 47sqrt2tan ^ -1（X / SQRT2）+ C#
完成原始积分
现在我们知道Integral 1和Integral 2相等，我们可以完成原始积分以得到我们的最终答案：
#35 / 51ln | X-7 | -6 / 11ln | X-3 | -1/561（79 / 2LN（X ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ C#
