在[-pi，pi]中θ上的r = 3/4的弧长是多少？

回答：

#L = 3 / 4pisqrt（PI ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（PI + SQRT（PI ^ 2 + 1））# 单位。

说明：

#R = 3 / 4theta#

#R ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2#

#R'= 3/4的#

#（R'）^ 2 = 9/16#

Arclength由下式给出：

#L = int_-pi ^ pisqrt（9 / 16theta ^ 2 + 9/16）d theta#

简化：

#L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt（theta ^ 2 + 1）d theta#

从对称性：

#L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt（theta ^ 2 + 1）d theta#

应用替代 #THETA = tanphi#:

#L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi#

这是一个已知的积分：

#L = 3/4的secphitanphi + LN | secphi + tanphi |#

反转替换：

#L = 3/4的thetasqrt（希塔^ 2 + 1）+ LN | THETA + SQRT（希塔^ 2 + 1）| _0 ^ PI#

插入集成限制：

#L = 3 / 4pisqrt（PI ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（PI + SQRT（PI ^ 2 + 1））#