你如何找到tan（x - y）= x的导数？

回答：

#（DY）/（DX）= X ^ 2 /（1 + X ^ 2）#

说明：

我假设你想找到 #（DY）/（DX）#。为此，我们首先需要一个表达式 #Y# 就……而言 #X#。我们注意到这个问题有各种解决方案，因为 #tan（x）的# 是一个周期函数， #tan（X-Y）= X# 将有多种解决方案。但是，因为我们知道切线函数的周期（#PI#），我们可以做到以下几点： #X-Y =黄褐色^（ - 1）X + NPI#，哪里 #tan ^（ - 1）# 是给定值之间的切线的反函数 #-pi / 2# 和 #PI / 2# 和因素 #NPI# 已被添加以考虑切线的周期性。

这给了我们 #Y = X-黄褐色^（ - 1）X-NPI#因此 #（DY）/（DX）= 1-d /（DX）黄褐色^（ - 1）X#，注意因素 #NPI# 已经消失了。现在我们需要找到 #d /（DX）黄褐色^（ - 1）X#。这非常棘手，但可以使用反函数定理。

设置 #U =黄褐色^（ - 1）X#， 我们有 #X = TANU =西努/ COSU#所以 #（DX）/（DU）=（COS ^ 2U +罪^ 2U）/余弦^ 2U = 1 /余弦^ 2U#，使用商规则和一些三角恒等式。使用反函数定理（说明如果 #（DX）/（DU）# 我们有连续和非零 #（DU）/（DX）= 1 /（（DX）/（DU））#）， 我们有 #（DU）/（DX）= COS ^ 2U#。现在我们需要表达 #^ COS 2U# 就x而言。

为此，我们使用一些三角函数。给出一个带有边的直角三角形 #A，B，C# 哪里 #C# 是斜边和 #A，B# 连接到正确的角度。如果 #U# 是一边的角度 #C# 交叉边 #一个#， 我们有 #X = TANU = B / A#。随着符号 #A，B，C# 在方程式中，我们表示这些边缘的长度。 #COSU = A / C# 我们发现，使用毕达哥拉斯定理 #C = SQRT（A ^ 2 + B ^ 2）= asqrt（1+（B / A）^ 2）= asqrt（1 + X ^ 2）#。这给了 #COSU = 1 / SQRT（1 + X ^ 2）#所以 #（DU）/（DX）= 1 /（1 + X ^ 2）#.

以来 #U =黄褐色^（ - 1）X#，我们可以将其替换为我们的等式 #（DY）/（DX）# 并找到 #（DY）/（DX）= 1-1 /（1 + X ^ 2）= X ^ 2 /（1 + X ^ 2）#.