回答：
#F# 是凸的 #RR#
说明：
我认为解决了它。
#F# 是2倍可微分的 #RR# 所以 #F# 和 #F'# 是连续的 #RR#
我们有 #（F '（X））^ 3 + 3F'（X）= E ^ X + cosx + X ^ 3 + 2X + 7#
区分我们得到的两个部分
#3 *（F '（X））^ 2F' '（X）+ 3F''（X）= E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2# #<=>#
#3F ''（X）（（F'（X））^ 2 + 1）= E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2#
- #F'（x）的^ 2> = 0# 所以 #F'（X）^ 2 + 1> 0#
#<=># #F ''（X）=（E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2）/（3（（F'（X））^ 2 + 1）> 0）#
我们需要分子的符号，所以我们考虑一个新的函数
#G（X）= E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2# , #X##在##RR#
#G'（X）= E ^ X-cosx + 6X#
我们注意到了 #G'（0）= E ^ 0-COS0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0#
对于 #X =π# #=># #G'（π）= E ^π-cosπ+6π= E ^π+ 1 +6π> 0#
对于 #X =-π# #G'（ - π）= E ^（ - π）-cos（-π）-6π= 1 / E ^π+cosπ-6π= 1 / E ^π-1-6π<0#
我们终于得到了这张显示单调的表 #G#
应该 #I_1 =（ - OO，0# 和 #I_2 = 0，+ ）#
#G（I_1）=克（（ - OO，0）= G（0），lim_（xrarr- ）G（X））= 3，+ ）#
#G（I_2）= G（0，+ ））= G（0），lim_（xrarr + ）G（X））= 3，+ ）#
因为
- #lim_（xrarr- ）G（X）= lim_（xrarr- ）（E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2）#
#| sinx的| <= 1# #<=># #-1 <= - sinx的<= 1# #<=>#
#E 1 X + 3×^ 2 + 2-1 <= E ^ X + 3×^ 2 + 2-sinx的<= E ^ X + 3×^ 2 + 2 + 1# #<=>#
#e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=>#
#E 1 X + 3×^ 2 + 1 <= G（X）<= E ^ X + 3×^ 2 + 3#
#lim_（xrarr- ）（E ^ X + 3×^ 2 + 1）= + 600 = lim_（xrarr- ）（E ^ X + 3×^ 2 + 3×）#
因此， #lim_（xrarr- ）G（X）= + OO#
- #lim_（xrarr + ）G（X）= lim_（xrarr + ）（E ^ X-sinx的+ 3×^ 2 + 2）#
通过相同的过程，我们最终会
#E 1 X + 3×^ 2 + 1 <= G（X）<= E ^ X + 3×^ 2 + 3#
然而， #lim_（xrarr + ）（E ^ X + 3×^ 2 + 1）= + 600 = E 1 X + 3×^ 2 + 3#
因此， #lim_（xrarr + ）G（X）= + OO#
范围 #G# 将会：
#R_g =克（D_G）= G（I_1）UUG（I_2）= 3，+ ）#
这意味着
#{（g（x）> 0“，”x RR），（g（x）<0“，”x RR）：}#
从而， #G（π）= E ^π-sinπ+3π^ 2 + 2 = E ^π+3π^ 2 + 2> 0#
结果是 #G（X）> 0#, #X##在##RR#
和 #F ''（X）> 0#, #X##在##RR#
#-># #F# 是凸的 #RR#
回答：
见下文。
说明：
特定 #y = f（x）# 曲线曲率半径由下式给出
#rho =（1+（f'）^ 2）^（3/2）/（f''）# 如此给定
#（f'）^ 3 + 3f'= e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7# 我们有
#3（f'）^ 2f''+ 3f''= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2# 要么
#f''（1+（f'）^ 2）= 1/3（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）# 要么
#1 /（F ''（1+（F'）^ 2））= 3 /（E ^ X + 3×^ 3-sinx的+ 2）# 要么
#rho =（1+（f'）^ 2）^（3/2）/（f''）=（3（1+（f'）^ 2）^（5/2））/（e ^ x + 3×^ 3-sinx的+ 2）#
现在分析 #g（x）= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2# 我们有
#min g（x）= 0# 对于 RR中的#x# 所以 #g（x）ge 0# 然后是曲率
#rho =（3（1+（f'）^ 2）^（5/2））/（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）# 不改变符号所以我们得出结论 #F（x）的# 题词是凸的 #RR#
