[2,9]中f（x）=（9x ^（1/3））/（3x ^ 2-1）的绝对极值是多少？

回答：

绝对最小值是 #（9 * root3（9））/ 26##=0.7200290…# 这发生在 #X = 9#.

绝对最大值是 #（9 * root3（2））/ 11##=1.030844495… # 这发生在 #X = 2#.

函数的绝对极值是给定域上函数的最大和最小y值。这个域可能会给我们（如在这个问题中）或它可能是函数本身的域。即使我们被赋予了域，我们也必须考虑函数本身的域，以防它排除我们给出的域的任何值。

#F（x）的# 包含指数 #1/3#，这不是一个整数。幸运的是，域名 #P（X）= root3（x）的# 是 #（ - 指路）# 所以这个事实不是问题。

但是，我们仍然需要考虑分母不能等于零的事实。当分母时，分母将等于零 #X = + - （1/3）= + - （SQRT（3）/ 3）#。这些值都不属于给定的域 #2,9#.

所以，我们转而寻找绝对的极值 #2,9#。绝对极值发生在域的端点或局部极值处，即函数改变方向的点。局部极值发生在关键点，即导数等于的域中的点 #0# 或者不存在。因此，我们必须找到衍生物。使用商规则：

#F'（X）=（（3×^ 2-1）*（1/3）（9倍^（ - 2/3）） - 9X ^（1/3）* 6×）/（3×^ 2-1） ^ 2#

#F'（X）=（（3×^ 2-1）* 3×^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3×^ 2-1）^ 2#

#F'（X）=（^ 9倍（4/3）-3x ^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3×^ 2-1）^ 2#

#F'（X）=（ - 45倍^（4/3）-3x ^（ - 2/3））/（3×^ 2-1）^ 2#

如果我们因素 #-3x ^（ - 2/3）# 在分子之外，我们有：

#F'（X）=（ - 3（15倍^ 2 + 1））/（X ^（2/3）（3×^ 2-1）#

没有值 #X# 上 #2,9# 哪里 #F'（x）的# 不存在。也没有值 #2,9# 哪里 #F'（X）= 0#。因此，给定域上没有关键点。

使用“候选人测试”，我们找到了值 #F（x）的# 在端点。 #f（2）=（9 * root3（2））/（3 * 4-1）#=#（9 * root3（2））/ 11#

#f（9）=（9 * root3（9））/（3 * 9-1）#=#（9 * root3（9））/ 26#

快速检查我们的计算器表明：

#（9 * root3（2））/ 11##=1.030844495… # （绝对最大值）

#（9 * root3（9））/ 26##=0.7200290…# （绝对最低）