微分方程y''' - y''+ 44y'-4 = 0的一般解是什么？

#“特征方程是：”#

#z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0#

#=> z（z ^ 2 - z + 4）= 0#

#=> z = 0“或”z ^ 2 - z + 4 = 0#

#“四边形的圆盘.eq。= 1 - 16 = -15 <0”#

#“所以我们有两个复杂的解决方案，他们是”#

#z =（1 pm sqrt（15）i）/ 2#

#“所以齐次方程的一般解是：”#

#A + B'exp（x / 2）exp（（sqrt（15）/ 2）i x）+#

#C'exp（x / 2）exp（ - （sqrt（15）/ 2）i x）#

#= A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2）#

#“完整等式的特定解决方案是”#

#“y = x，”#

#“这很容易看到。”#

#“所以完整的解决方案是：”#

#y（x）= x + A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2）#

回答：

#y = A + e ^（1 / 2x）{Bcos（sqrt（15）/ 2x）+ Csin（sqrt（15）/ 2x）} + x#

我们有：

#y''' - y''+ 44y'-4 = 0#

或者，或者：

#y''' - y''+ 4y'= 4# ….. 一个

这是一个第三具有常系数的线性非齐次微分方程。标准方法是找到解决方案， #y_c# 通过查看辅助方程，即具有导数系数的多项式方程，然后找到一个独立的特定解， #y_p# 非齐次方程。

辅助方程的根确定了解的部分，如果线性无关，则解的叠加形成完整的通用解。

真正独特的根源 #m = alpha，beta，……# 将产生线性独立的形式解决方案 #Y_1 =阂^（ALPHAX公司制）#, #Y_2 =成为^（betax）#, …
真实的重复根源 #M =阿尔法#，将产生一种形式的解决方案 #Y =（AX + B）E 1（ALPHAX公司制）# 其中多项式与重复具有相同的程度。
复杂的根（必须作为共轭对出现） #M = P + -qi# 将产生一对线性独立的形式解决方案 #Y = E 1（PX）（ACOS（QX）+ BSIN（QX））#

特别解决方案

为了找到非齐次方程的特定解：

#y''' - y''+ 4y'= f（x） # 同 #f（x）= 4# ….. C

然后作为 #F（x）的# 是一个多项式的度 #0#，我们将寻找相同程度的多项式解，即形式 #y = a#

但是，这种解决方案已经存在于CF解决方案中，因此必须考虑该形式的潜在解决方案 #Y = AX#，常数 #一个# 是通过直接替换和比较来确定的：

区分 #Y = AX# WRT #X# 我们得到：

#y'= a#

#y''= 0#

#y'''= 0#

将这些结果代入DE A，我们得到：

#0-0 + 4a = 4 => a = 1#

因此我们形成了特殊的解决方案：

#y_p = x#

一般解决方案

然后导致A的GS

#y（x）= y_c + y_p#

# = A + e ^（1 / 2x）{Bcos（sqrt（15）/ 2x）+ Csin（sqrt（15）/ 2x）} + x#

注意这个解决方案有 #3# 整合的常数和 #3# 线性独立的解决方案，因此通过存在性和唯一性定理，它们的叠加是一般解