回答：
#root（4）（84）~~ 3.03#
说明：
注意 #3^4 = 81#，这是接近 #84#.
所以 #root（4）（84）# 比一点大 #3#.
为了获得更好的近似，我们可以使用线性近似，即牛顿方法。
限定：
#f（x）= x ^ 4-84#
然后：
#f'（x）= 4x ^ 3#
并给出近似零 #X = A# 的 #F（x）的#，更好的近似是：
#a - （f（a））/（f'（a））#
所以在我们的情况下，推杆 #A = 3#，更好的近似是：
#3-（f（3））/（f'（3））= 3-（3 ^ 4-84）/（4（3）^ 3）= 3-（81-84）/（4 * 27） = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar（7）#
这几乎是准确的 #4# 有意义的数字，但让我们引用近似值 #3.03#
回答：
#root（4）（84）~~ 3.02778#
说明：
注意点附近的线性近似 #一个# 可以给出：
#f（x）~~ f（a）+ f'（a）（x-a）#
如果给出： #f（x）= root（4）（x）#
那么一个合适的选择 #一个# 将会 #A = 81# 因为我们知道 #root（4）81 = 3# 确切地说它接近 #84#.
所以：
#f（a）= f（81）= root（4）（81）= 3#
也;
#f（x）= x ^（1/4）# 所以 #f'（x）= 1 / 4x ^（ - 3/4）= 1 /（4root（4）（x）^ 3）#
#f'（81）= 1 /（4root（4）（81）^ 3）= 1 /（4 * 3 ^ 3）= 1/108#
因此我们可以近似（近 #81#):
#F（x）的~~ F（一）+ F'（A）（X-A）#
#implies root（4）（x）~~ 3 + 1 /（108）（x-81）#
所以：
#root（4）（84）= 3 + 1/108（84-81）#
#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#
更准确的价值是 #3.02740#
所以线性近似非常接近。
回答：
#root 4（84）~~ 3.02bar7#
说明：
我们可以说我们有一个功能 #f（x）= root（4）（x）#
和 #root（4）（84）= f（84）#
现在，让我们找到我们函数的衍生物。
我们使用幂规则，其中指出if #F（X）= X ^ N#， 然后 #F'（X）= NX ^（N-1）# 哪里 #N# 是一个常数。
#F（X）= X ^（1/4）#
=>#F'（X）= 1/4 *的x ^（1 / 4-1）#
=>#F'（X）=（的x ^（ - 3/4））/ 4#
=>#F'（X）= 1 / X ^（3/4）* 1/4号
=>#F'（X）= 1 /（4×^（3/4））#
现在，来近似 #root（4）（84）#，我们试图找到最接近84的完美四次方
让我们来看看…
#1#
#16#
#81#
#256#
我们看到了 #81# 是我们最亲近的人。
我们现在找到函数的切线 #X = 81#
=>#F'（81）= 1 /（4 * 81 ^（3/4））#
=>#F'（81）= 1 /（4 * 81 ^（2/4）* 81 ^（1/4））#
=>#F'（81）= 1 /（4 * 9 * 3）#
=>#F'（81）= 1/108#
这是我们正在寻找的斜坡。
让我们尝试在表格中写出切线的方程 #Y = mx + b中#
那是什么 #Y# 等于什么时候 #X = 81#?
让我们来看看…
#F（81）=根（4）（81）#
=>#F（81）= 3#
因此，我们现在有：
#3 = M81 + B# 我们知道斜坡， #M#是的 #1/108#
=>#3 = 1/108 * 81 + B# 我们现在可以解决了 #B#.
=>#3 =一百 八分之八十一+ B#
=>#3 = 3/4 + B#
=>#2 1/4 = b#
因此，切线的方程是 #y = 1 / 108x + 2 1/4#
我们现在使用84代替 #X#.
=>#y = 1/108 * 84 + 2 1/4#
=>#y = 1/9 * 7 + 2 1/4#
=>#Y = 7/9 + 9/4#
=>#Y =36分之28+36分之81#
=>#Y =三十六分之一百 九#
=>#Y = 3.02bar7#
因此， #root 4（84）~~ 3.02bar7#
