这很容易被看作是不可能的基本方法，所以我只是用数字解决它并得到：
我评估了积分 #n = 1,1.5,2,. 。 。 ，9.5,10,25,50,75,100#。到那时它显然达到了 #0.5#.
回答：
见下文。
说明：
#int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx le int_0 ^ 1n x ^（n-1）dx = 1#
#int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^（n-1）dx = 1/2#
要么
#1/2 le int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx le 1#
现在假设其中一个答案是真的，最自然的似乎是第四个4）
注意
对于 0,1中的#x#
#1/2 le 1 /（1 + x ^ 2）le 1#
回答：
#1/2#
说明：
正如之前的解决方案中所示，
#I_n = int_0 ^ 1（nx ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx#
存在并且有界：
#1/2 le I_n <1#
现在按部件收集产量
#I_n =（（int nx ^（n-1）dx）/（1 + x ^ 2））_ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n次（ - （2x）/（1 + x ^ 2）^ 2 ）dx#
#qquad =（x ^ n /（1 + x ^ 2））_ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^（n + 1）/（1 + x ^ 2）^ 2dx#
#qquad = 1/2 + J_n#
现在，从那以后 #0 <（1 + x ^ 2）^ - 1 <1# 在 #(0,1)#
#J_n = 2 /（n + 2）int_0 ^ 1（（n + 2）x ^（n + 1））/（1 + x ^ 2）^ 2 dx#
#qquad <= 2 /（n + 2）int_0 ^ 1（（n + 2）x ^（n + 1））/（1 + x ^ 2）dx = 2 /（n + 2）I_（n + 2 ）#
以来 #lim_（n到oo）I_n# 存在，我们有
#lim_（n到oo）J_n = lim_（n到oo）2 /（n + 2）I_（n + 2）= lim_（n到oo）2 /（n + 2）次lim_（n到oo）I_ （n + 2）= 0#
于是
#lim_（n到oo）I_n = 1/2#
