如何通过part方法集成int sec ^ -1x？

回答：

答案是 #= X “弧” secx-LN（X + SQRT（的x ^ 2-1））+ C#

说明：

我们需要

#（秒^ -1x） '=（ “ARC” secx）'= 1 /（xsqrt（X ^ 2-1））#

#intsecxdx = LN（SQRT（X ^ 2-1）+ X）#

按部件集成是

#intu'v = UV-intuv'#

在这里，我们有

#U'= 1#, #=>#, #U = X#

#V = “弧” secx#, #=>#, #V'= 1 /（xsqrt（X ^ 2-1））#

因此，

#int “弧” secxdx = X “弧” secx-INT（DX）/（SQRT（X ^ 2-1））#

通过替换执行第二个积分

让 #X = SECU#, #=>#, #DX = secutanudu#

#sqrt（X ^ 2-1）= SQRT（秒^ 2U-1）= TANU#

#intdx / SQRT（X ^ 2-1）= INT（secutanudu）/（TANU）= intsecudu#

#= INT（SECU（SECU + TANU）DU）/（SECU + TANU）#

#= int（（sec ^ 2u + secutanu）du）/（secu + tanu）#

让 #V = SECU + TANU#, #=>#, #DV =（秒^ 2U + secutanu）杜#

所以，

#intdx / SQRT（X ^ 2-1）= INT（DV）/（V）= LNV#

#= LN（SECU + TANU）#

#= LN（X + SQRT（的x ^ 2-1））#

最后，

#int “弧” secxdx = X “弧” secx-LN（X + SQRT（的x ^ 2-1））+ C#

回答：

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-ln（| x | + sqrt（x ^ 2-1））+ C#

说明：

或者，我们可以使用一个鲜为人知的公式来计算反函数的积分。公式表明：

#int f ^ -1（x） dx = xf ^ -1（x）-F（f ^ -1（x））+ C#

哪里 ·F ^ -1（x）的# 是反的 #F（x）的# 和 #F（x）的# 是反衍生物 #F（x）的#.

在我们的例子中，我们得到：

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-F（sec ^ -1（x））+ C#

现在我们需要解决的是反衍生物 #F#，这是熟悉的割线积分：

#int sec（x） dx = ln | sec（x）+ tan（x）| + C#

将其重新插入公式给出了我们的最终答案：

#int sec ^ -1（x） dx = xsec ^ -1（x）-ln | sec（sec ^ -1（x））+ tan（sec ^ -1（x））| + C#

我们需要小心简化 #tan（秒-1 ^（X））# 至 #sqrt（X ^ 2-1）# 因为身份只有在有效时才有效 #X# 是积极的。但是，我们很幸运，因为我们可以通过在对数内的另一个项上设置绝对值来解决这个问题。这也消除了对第一个绝对值的需要，因为对数内的所有内容都将是正数：

#XSEC ^ -1（x）的-ln（| X | + SQRT（X ^ 2-1））+ C#