回答：
#R = 20 / SQRT（3）=（20sqrt（3））/ 3#
说明：
让我按照我的理解重申这个问题。
只要该物体的表面积为 #200pi#，最大化音量.
计划
了解表面积，我们可以表示高度 #H# 作为半径的函数 #R·，那么我们可以将体积表示为仅一个参数的函数 - 半径 #R·.
此功能需要使用最大化 #R· 作为参数。这给了价值 #R·.
表面积包含：
4个壁，形成平行六面体的侧表面，具有基部的周边 #6R# 和高度 #H#总面积为 #6RH#.
1个屋顶，半径圆柱体的侧面的一半 #R· 和高 #R·，有面积 #pi r ^ 2#
屋顶的两侧，半径为半圆形 #R·，总面积是 #pi r ^ 2#.
得到的物体的总表面积是
#S = 6rh + 2pi r ^ 2#
知道这等于 #200pi#，我们可以表达 #H# 就……而言 #R·:
#6RH + 2pir ^ 2 = 200pi#
#r =（100pi-pir ^ 2）/（3r）=（100pi）/（3r） - pi / 3r##
该物体的体积有两部分：屋顶下方和屋顶内。
在屋顶下方，我们有一个平行六面体区域 #2R ^ 2# 和高度 #H#，就是它的体积是
#V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3#
在屋顶内，我们有半圆柱半径 #R· 和高度 #R·，它的体积是
#V_2 = 1 / 2pir ^ 3#
我们必须最大化功能
#V（r）= V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3#
看起来像这样（不按比例）
图{2x-0.6x ^ 3 -5.12,5.114，-2.56,2.56}
当函数的导数等于零时，该函数达到最大值。
#V'（r）= 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2#
在该地区 #r组成> 0# 它等于零 #R = 20 / SQRT（3）= 20sqrt（3）/ 3#.
在给定表面区域和物体形状的情况下，这是给出最大体积的半径。
