如何找到积分int（x * cos（5x））dx？

我们将牢记部件集成的公式，即：

#int u dv = uv - int v du#

为了成功找到这个积分，我们将让 #u = x#，和 #dv = cos 5x dx#。因此， #du = dx# 和 #v = 1/5罪5x#. (·V# 可以使用快速找到 #U#-代换）

我选择的原因 #X# 为了价值 #U# 是因为我知道以后我会最终整合 ·V# 乘以 #U#的衍生物。自从衍生出来 #U# 只是 #1#并且由于自身集成trig函数并不会使它变得更复杂，我们已经有效地删除了 #X# 来自被积函数，现在只需要担心正弦。

因此，插入IBP的公式，我们得到：

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - int 1/5 sin 5x dx#

拉 #1/5# 在被子中给出了我们：

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/5 int sin 5x dx#

整合正弦只需要一个 #U#-代换。因为我们已经使用过了 #U# 对于IBP的公式我将使用这封信 #Q | 代替：

#q = 5x#

#dq = 5 dx#

得到一个 #5 dx# 在被积函数中，我将积分乘以另一个 #1/5#:

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int 5sin 5x dx#

并且，取代所有方面 #Q |:

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int sinq * dq#

我们知道它的积分 #罪# 是 #-cos#，所以我们可以很容易地完成这个积分。记住整合的常数：

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 + 1/25 cos q + C#

现在我们将简单地替换回来 #Q |:

#int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 +（cos 5x）/ 25 + C#

而且还有我们不可或缺的。

如何找到积分intln（2x + 1）dx？

通过部件的替换和积分，int ln（2x + 1）dx = 1/2（2x + 1）[ln（2x + 1）-1] + C让我们看一些细节。 int ln（2x + 1）dx由替换t = 2x + 1。 Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt by Parts by Parts，设你u = ln t dv = dt Rightarrow du = dt / t和v = t = 1/2（tlnt-int dt）= 1/2（tlnt-t）+ C，通过分解t，= 1 / 2t（lnt-1）+ C把t = 2x + 1放回去，= 1/2（2x + 1）[ln（2x + 1）-1] + C

如何找到积分int（ln（x））^ 2dx？

我们的目标是降低ln x的功率，以便更容易评估积分。我们可以通过使用部件集成来实现这一点。请记住IBP公式：int u dv = uv - int v du现在，我们将u =（lnx）^ 2和dv = dx。因此，du =（2lnx）/ x dx且v = x。现在，将这些碎片组装在一起，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - int（2xlnx）/ x dx这个新积分看起来好多了！简化一点，并将常数带到前面，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2 int lnx dx现在，为了摆脱下一个积分，我们将进行第二次积分按部分，让u = ln x和dv = dx。因此，du = 1 / x dx且v = x。组装给我们：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2（xlnx - int x / x dx）现在，剩下要做的就是简化，记住要添加整合常量：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2xlnx + 2x + C我们有它。记住，按部分集成就是为了挑选你，以便从被积函数中消除混乱的东西。在这种情况下，我们将（ln x）^ 2降低到ln x，然后降低到1 / x。最后，一些x被取消了，并且它变得更容易集成。

如何找到积分intsin ^ -1（x）dx？

通过部分集成，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C让我们看一些细节。设u = sin ^ { - 1} x和dv = dx。 Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2}和v = x按部分积分，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx设u = 1-x ^ 2。 Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / { - 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / { - 2x} = -1 / 2intu ^ { - 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C因此，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} X + SQRT {1-x ^ 2} + C