回答：
交叉曲线可以参数化为 #（z，r）=（（81/2）sin2 theta，9）#.
说明：
我不确定你的矢量函数是什么意思。但我理解你试图在问句陈述中表示两个表面之间的交点曲线。
由于气缸周围是对称的 #z#按 在圆柱坐标系中，可能更容易表达曲线。
更改为圆柱坐标：
#x = r cos theta#
#y = r sin theta#
#z = z#.
#R· 是距离的距离 #z#按 轴和 ##THETA 是逆时针的角度 #X# 轴在 #X，Y# 平面。
然后第一个表面变成了
#x ^ 2 + y ^ 2 = 81#
#r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81#
#R ^ 2 = 81#
#R = 9#, 因为毕达哥拉斯三角恒等式。
第二个表面变成了
#z = xy#
#z = rcos theta rsin theta#
#z = r ^ 2sin theta cos theta#.
我们从第一个表面的等式中了解到，交叉曲线必须是平方距离 #R ^ 2 = 81# 从第一个表面，给予
#z = 81 sin theta cos theta#, #z =（81/2）sin2 theta#, 由…参数化的曲线 ##THETA。最后一步是三角形身份，仅根据个人喜好进行。
从这个表达式我们看到曲线确实是一条曲线，因为它有一个自由度。
总而言之，我们可以将曲线写为
#（z，r）=（（81/2）sin2 theta，9）#, 这是单个变量的向量值函数 ##THETA.
回答：
见下文。
说明：
考虑到交叉点
#C_1 - > {（x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2），（RR中的z）：}#
同
#C_2-> z = x y#
要么 #C_1 nn C_2#
我们有
#{（x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2），（x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2）：}#
现在正在解决 #的x ^ 2，Y ^ 2# 我们获得参数曲线
#{（x ^ 2 = 1/2（r ^ 2-sqrt（r ^ 2-4 z ^ 2））），（y ^ 2 = 1/2（r ^ 2 + sqrt（r ^ 2-4 z） ^ 2）））：}# 要么
#{（x = pm sqrt（1/2（r ^ 2-sqrt（r ^ 2-4 z ^ 2）））），（y = pm sqrt（1/2（r ^ 2 + sqrt）（r ^ 2 -4 z ^ 2））））：}#
这是真实的
#r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm（r / 2）^ 2#
附图显示红色（一片叶子）的交叉曲线。
