使用按部件集成，
#^的INTx#2sinpixdx
#=#
#（ - 1 / pi）x ^ 2cospix +（（2）/ pi ^ 2）xsinpix +（2 / pi ^ 3）cospix + C#
请记住，按部件集成使用以下公式：
#INTU# ##DV =#uv - intv# ##杜
这是基于衍生产品的产品规则：
#uv = vdu + udv#
要使用这个公式，我们必须决定哪个术语
反向Trig
对数
代数
触发
指数
这为您提供了一个优先级顺序，用于“
我们现在有：
#u = x ^ 2# ,#dv = sinpix#
公式中我们需要的下一个项目是“
使用幂规则获得导数：
#d / dxx ^ 2 = 2x = du#
对于积分，我们可以使用替换。
运用
我们现在有：
#du = 2x dx# ,#v =# #（ - 1 / PI）cospix#
插入我们最初的按部件集成公式，我们有：
#INTU# ##DV =#uv - intv# ##杜
#=#
#intx ^ 2sinpixdx =（ - 1 / pi）x ^ 2cospix - （ - 1 / pi）int2xcospixdx#
我们现在留下另一个整体，我们必须再次使用“按部件集成”来解决。通过拉动
#intxcospixdx =（1 / pi）xsinpix - （1 / pi）intsinpixdx#
我们可以通过最后一轮替换来解决最后一个积分，给我们：
#（1 / pi）intsinpixdx =（ - 1 / pi ^ 2）cospix#
将我们发现的所有内容放在一起，我们现在拥有：
#（ - 1 / pi）x ^ 2cospix - （ - 2 / pi）（1 / pi）xsinpix - （ - 1 / pi ^ 2）cospix#
现在我们可以简化底片和括号来得到我们的最终答案：
#intx ^ 2sinpixdx =#
#（ - 1 / pi）x ^ 2cospix +（（2）/ pi ^ 2）xsinpix +（2 / pi ^ 3）cospix + C#
关键是要记住，最终会将一系列多个术语加在一起或相减。您不断将积分分成较小的，易于管理的部分，您必须跟踪它们以获得最终答案。
如何找到积分int（ln（x））^ 2dx？
我们的目标是降低ln x的功率，以便更容易评估积分。我们可以通过使用部件集成来实现这一点。请记住IBP公式：int u dv = uv - int v du现在，我们将u =（lnx）^ 2和dv = dx。因此，du =（2lnx）/ x dx且v = x。现在，将这些碎片组装在一起，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - int（2xlnx）/ x dx这个新积分看起来好多了！简化一点，并将常数带到前面，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2 int lnx dx现在，为了摆脱下一个积分，我们将进行第二次积分按部分，让u = ln x和dv = dx。因此，du = 1 / x dx且v = x。组装给我们：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2（xlnx - int x / x dx）现在，剩下要做的就是简化，记住要添加整合常量：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2xlnx + 2x + C我们有它。记住，按部分集成就是为了挑选你，以便从被积函数中消除混乱的东西。在这种情况下，我们将（ln x）^ 2降低到ln x，然后降低到1 / x。最后，一些x被取消了，并且它变得更容易集成。
如何找到积分int（x * cos（5x））dx？
我们将记住部分积分的公式，即：int u dv = uv - int v du为了成功找到这个积分，我们将u = x，并且dv = cos 5x dx。因此，du = dx且v = 1/5 sin 5x。 （v可以使用快速u替换找到）我选择x作为u的值的原因是因为我知道稍后我将最终积分v乘以u的导数。因为u的导数只有1，并且因为积分trig函数本身并不会使它变得更复杂，所以我们已经有效地从被积函数中去除了x，现在只需要担心正弦。因此，插入IBP的公式，我们得到：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - int 1/5 sin 5x dx拉出被积函数的1/5给出：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/5 int sin 5x dx积分正弦仅取u取代。由于我们已经使用u作为IBP的公式，我将使用字母q代替：q = 5x dq = 5 dx要在被积函数内得到5 dx，我将把积分乘以另外的1/5：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int 5sin 5x dx并且，用q替换所有内容：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int sinq * dq我们知道sin的积分是-cos，所以我们可以很容易地完成这个积分。记住积分常数：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 + 1/25 cos q + C现在我们将简单地替换回q：in
如何找到积分int（x * e ^ -x）dx？
Int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x） - e ^（ - x）+ C过程：int x e ^（ - x）dx =？这个整体将需要按部件集成。请记住公式：int u dv = uv - int v du我们将u = x，并且dv = e ^（ - x）dx。因此，du = dx。查找v将需要u替换;我将使用字母q而不是u，因为我们已经在部件集成公式中使用了u。 v = int e ^（ - x）dx let q = -x。因此，dq = -dx我们将重写积分，添加两个负数以适应dq：v = -int -e ^（ - x）dx用q表示：v = -int e ^（q）dq因此，v = -e ^（q）替换为q给我们：v = -e ^（ - x）现在，回顾IBP的公式，我们得到了开始替换所需的一切：int xe ^（ - x）dx = x *（ - e ^（ - x）） - int -e ^（ - x）dx简化，取消两个底片：int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x）+ int e ^（ - x）dx第二个积分应该很容易解决 - 它等于v，我们已经找到了。简单地替换，但记得添加积分常量：int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x） - e ^（ - x）+ C