如果可能的话，找一个函数f使得grad f =（4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2,6x ^ 3y + 6y ^ 5）？

回答：

#f（x，y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c#

说明：

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2#

#=> f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1（y）#

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5#

#=> f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2（x）#

#“现在拿”#

#C_1（y）= y ^ 6 + c#

#C_2（x）= x ^ 4 + c#

#“然后我们有一个相同的f，它满足条件。”#

#=> f（x，y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c#

回答：

#f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c#

说明：

我们在问题中的表示法很差，因为del运算符（或梯度算子）是向量微分算子，

我们寻求一种功能 #F（X，Y）# 这样：

#bb（grad）f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2,6x ^ 3y + 6y ^ 5 >>#

哪里 #bb（梯度）# 是梯度算子：

#“grad”f = bb（grad）f =（部分f）/（部分x）bb（ul hat i）+（部分f）/（部分x）bb（ul hat j）= << f_x，f_y> >#

从中我们要求：

#f_x =（部分f）/（部分x）= 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. 一个

#f_y =（部分f）/（部分y）= 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

如果我们整合A wrt #X#治疗时 #Y# 作为常数，我们得到：

#f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx#

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u（y）+ c#

如果我们整合B wrt #Y#治疗时 #X# 作为常数，我们得到：

#f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy#

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v（x）+ c#

哪里 #U（y）的# 是一个任意的函数 #Y# 独自一人 ·V（x）的# 是一个任意函数 #X# 单独。

我们显然要求这些功能相同，因此我们有：

#x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u（y）+ c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v（x）+ c#

#:. x ^ 4 + u（y）= y ^ 6 + v（x）#

所以我们选择 ·V（X）= X ^ 4# 和 #U（Y）= Y ^ 6#，这给了我们解决方案：

#f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c#

我们可以通过计算偏导数来轻松确认解决方案：

#f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2#, #f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5#

#:. bb（grad）f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2,6x ^ 3y + 6y ^ 5 >># QED