回答：
唯一的极值是 #X = 0.90322 …#，功能最小
但是你必须解决一个三次方程才能到达那里并且答案根本不是“好” - 你确定这个问题输入正确吗？我还提供了如何处理答案的建议，而没有进入下面完整显示的分析数量。
说明：
标准方法使我们处于艰难的方向
首先计算衍生物：
#F（X）=（4×-3）^ 2-（X-4）/ X#
所以（通过链和商规则）
#F'（X）= 4 * 2（4×-3） - （X-（X-4））/ X ^ 2 = 32X-24-4 / X ^ 2#
然后将其设置为0并求解 #X#:
#32X-24-4 / X ^ 2 = 0#
#32X ^ 3-24x ^ 2-4 = 0#
#8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0#
我们有一个立方方程，可以通过激进来解决，但这远非一个简单的过程。我们知道这个等式通常有三个根，但并不是说它们都是真实的，尽管它们中至少有一个是 - 至少有一个是我们从中间值定理知道的 - http：// en。 wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - 它告诉我们，因为函数在一端变为无穷大而在另一端变为无穷大，所以它必须在一个点或另一个点之间取所有值。
尝试一些简单的值（1通常是一个信息丰富，快速尝试的值），我们看到有一个介于1/2和1之间的根，但我们没有找到任何明显的解决方案来简化方程式。求解一个三次方程是一个漫长而乏味的过程（我们将在下面做），所以在这样做之前尝试告知一个人的直觉是值得的。进一步尝试解决方案，我们发现它介于0.9和0.91之间。
2.解决一个简化的问题
该功能由两个术语的区别组成， #F_1（X）=（4×-3）^ 2# 和 #F_2（X）=（X-4）/ X#。对于大部分范围 #X#，其中第一个将占据主导地位，因为对于所有价值的第二个术语将接近1 #X# 远离小值。让我们问两个单独的术语如何表现。
第一学期， #F_1#
#F_1（X）=（4×-3）^ 2#
#F_1 ^'（X）= 4 * 2（4×-3）= 8（4×-3）#
将此值设置为零： #X = 3/4的#。这是我们找到的函数零的区域，但它并不是非常接近它。
#F（1）# 是一个抛物线 #X#一个接触到的 #X# 轴在 #X = 3/4的#。它的导数是一条陡峭的直线32，它在同一点与x轴相交。
第二期， #F_2#
#F_2（X）=（X-4）/ X = 1-4 / X#
#F_2 ^'（X）= 4 / X ^ 2#
将此值设置为零：没有解决方案 #X#。所以 #F_2# 作为一个独立的函数，它没有极值。然而，它确实有一个点，它会爆炸到无穷大： #X = 0#。当它从负侧接近0时变为正无穷大，并且当它从正侧接近0时变为负无穷大。远离这一点，曲线往往两侧的值为1。 #F_2# 是一个以双曲线为中心的 #（X，Y）=（0,1）#。它的导数是两条曲线，分别为负数和正数 #X#。它从两个方向转向正无穷大 #X = 0# 而且总是积极的。
注意 #F_1 ^'（X）<0# 对全部 #X <0#。没有交叉点 #F_1 ^'# 和 #F_2 ^'# 在负面 #X# 轴。过度积极 #X# 轴必须恰好有一个交点 - 一条曲线从小于0到无穷大 #X# 当另一个从无穷大变为0时，它们会相同。通过应用中间值定理（见上文），它们必须恰好交叉一次。
所以现在我们确信我们只是在寻找一种解决方案，但我们没有一个好的答案。
3.数字近似答案
在需要解决这些问题的专业情况下，通常最快捷的方式就是进行数值逼近。找到函数根的一个非常好的方法是Newton-Raphson方法（http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method）。
这是：找到一个函数的根 #F#，首先猜一猜 #X_0# 在根，然后根据以下公式循环迭代：
#X_1 = X_0-F（X_0）/（F'（X_0））#
#X_1# 比猜测更好 #X_0#，只需重复一遍，直到达到所需的精度。
回想一下我们的功能及其衍生产品：
#F（X）=（4×-3）^ 2-（X-4）/ X#
#F'（X）= 8（4×-3）-4 / X ^ 2#
所以我们可能会猜测0.5作为我们的根 #X_0 = 0.5#, #F（X_0）= 8#, #F'（X_0）= - 24#。从而 #F_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 ….#确实是一个更接近的答案。重复使我们达到上述约0.9的值。
所以我们可以任意精确地找到答案，但完整的答案需要一个解析解，我们上面提到的内容很难。所以我们走了……
4.缓慢而痛苦地解决完整问题
现在让我们做完整的立方解决方案（你将不得不爱代数来正确地解决这个问题）：
首先，除以使得主导项具有系数1:
#8倍速^ 3-6x ^ 2-1 = 0#
#x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0#
其次，对变量进行以下替换 #Y# 删除 #x的^ 2# 术语：
替代 #X = Y + 1/4号。更一般地，对于形式的等式 #斧^ 3 + BX ^ 2 + CX + d = 0#一个人会替代 #X = Y-B /（3a）的#。如果你通过代数工作，你会发现这总是导致代数 #x的^ 2# 术语消失。在这种情况下，我们获得：
#x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0#
#（y + 1/4）^ 3 -3/4（y + 1/4）^ 2 - 1/8 = 0#
（展开括号，记住二项式定理：http：//en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem）
#y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0#
（注意这两个 #y的^ 2# 条款完全取消）
#y的^ 3-3 / 16Y = 5/32#
我们现在拥有与之前相同数量的术语，因为我们以前没有 #Y# 术语。失去了 #y的^ 2# 期限是数学利润，承诺！
第三，进行另一种替换（Vieta的替代：http：//mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html）将其转换为二次方：
替代 #Y = W + 1 /（16瓦特）#。更一般地，对于形式的等式 #y的^ 3 + PY = Q#，这个替代是 #Y = W-P /（3ω）#.
#y的^ 3-3 / 16Y = 5/32#
#（W + 1 /（16瓦特））^ 3-3 / 16（W + 1 /（16瓦特））= 5/32#
#瓦特^ 3 + 3 /16瓦特+ 3 /（256瓦特）+ 1 /（4096瓦特^ 3）-3 /16瓦特-3 /256瓦特= 5/32#
（请注意两者 #W# 和 #1 / W# 条款完全取消）
#瓦特^ 3 + 1 /（4096瓦特^ 3）= 5/32#
#瓦特^ 6-5 /32瓦特^ 3 +四千 九十六分之一= 0#
（现在，你可能会问这究竟是什么好处 - 我们已经摆弄了我们的3阶方程，直到我们得到6阶方程，肯定是一个损失…但我们现在可以把它看作二次方程在 #w ^ ^ 3#，我们可以解决二次方程……）
第四，求解二次方程 #w ^ ^ 3#
#瓦特^ 6-5 /32瓦特^ 3 +四千 九十六分之一= 0#
#（W ^ 3）^ 2-5 / 32（W ^ 3）+四千 九十六分之一= 0#
使用二次方程：
#w ^ 3 =（5/32 + -sqrt（25 / 1024-1 / 1024））/ 2#
#w ^ 3 =（5/32 + -sqrt（24/1024））/ 2 =（5/32 + -sqrt（24）/ 32）/ 2#
#w ^ 3 =（5 + -sqrt（24））/ 64 =（5 + -2sqrt（6））/ 64#
我们有答案！现在我们只需要将它与原始变量联系起来 #X#.
第五，转换回原来的条款
#w ^ 3 =（5 + -2sqrt（6））/ 64#
取立方根：
#w = （5 + -2sqrt（6））/ 64 ^（1/3）#
#w =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#
回想一下我们如何相关 #Y# 至 #W# 早期： #Y = W + 1 /（16瓦特）#
#Y =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4 + 1 /（4 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））#
现在 #1 /（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））#
#= 1 /（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））*（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（ - 5 + -2sqrt（6 ） ^（1/3））#
#=（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（（5 + -2sqrt（6））（ - 5 + -2sqrt（6）） ^（1/3）） #
#=（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（ - 25 + 4 * 6 ^（1/3））#
#=（ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/（ - 1）= - - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3）#
（苏格拉底式似乎没有提供正负的减号加，所以我们必须这样写）
从而
#Y =（5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4 - （ - 5 + -2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#
如果我们在第二个大项中乘以减号，我们可以看到我们得到两个相同的表达式，因此我们可以删除二次加号/减号，并简化为
#Y = 1/4（5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））#
终于（！）回忆起我们的设定 #X = Y + 1/4号.
从而
#X =（1 + 5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#
第六，推断出这些根中有多少是真实的
立方根中的两个表达式各有一个实根和两个共轭虚根。一个真实的数字 #一个# 有三个立方根 #A ^（1/3）#, #A ^（1/3）（1/2 + isqrt（3）/ 2）#,#A ^（1/3）（1/2-isqrt（3）/ 2）#。现在我们知道立方根内的两个表达式都是正的（注意 #5 = SQRT（25）> SQRT（24）= 2sqrt（6）#），以及第二和第三个值中的虚部 #X# 不能总和为零。
结论
因此，只有一个真正的根 #X# （正如我们在上面通过一个更简单的分析得出的结论），因此只有一个局部极值在你所询问的曲线上，由表达式给出
#X =（1 + 5 + 2sqrt（6） ^（1/3）+ 5-2sqrt（6） ^（1/3））/ 4#
或者，以十进制表示
#X = 0.90322 …#
我们可以推断出这是函数的最小值，因为只有一个极值，并且函数在两端都趋于正无穷大。
