区间[-1,3]上f（x）=（x ^ 2 -9）^ 3 +10的极值是多少？

回答：

我们有一个最小的 #X = 0# 和一个拐点 #X = 3#

最大值是函数上升然后再次下降的高点。因此，切点的斜率或该点处的导数值将为零。

此外，由于最大值左侧的切线将向上倾斜，然后变平然后向下倾斜，切线的斜率将连续减小，即二阶导数的值将为负。

另一方面，最小值是函数下降然后再次上升的低点。因此，切线或最小值处的导数值也将为零。

但是，由于最小值左侧的切线将向下倾斜，然后变平然后向上倾斜，切线的斜率将不断增加或二阶导数的值将为正。

如果二阶导数为零，我们有一个点

然而，这些最大值和最小值可以是通用的，即整个范围的最大值或最小值，或者可以是局部的，即在有限范围内的最大值或最小值。

让我们参考问题中描述的功能来看这一点，为此我们首先要区分 #F（X）=（X ^ 2-9）^ 3 + 10#.

它的一阶导数是由 #F'（X）= 3（X ^ 2-9）^ 2 * 2×#

= #6×（X ^ 4-18x ^ 2 + 81）= 6×^ 5-108x ^ 3 + 486x#.

这将是零 #的x ^ 2-9 = 0# 要么 #X = + - 3# 要么 #0#。其中只有 #{0,3}# 在范围内 #-1,3}#.

因此，最大值或最小值出现在点处 #X = 0# 和 #X = 3#.

为了找出它是最大值还是最小值，让我们看看第二个微分是什么 #F ''（X）= X ^ 30倍^ 4-324x 2 + 486# 因此

在 #X = 0#, #F ''（X）= 486# 并且是积极的

在 #X = 3#, #F ''（X）= 2930至16年+ 486 = 0# 并且是一个拐点。

因此，我们有一个当地的最小值 #X = 0# 和一个拐点 #X = 3#

。图{（x ^ 2-9）^ 3 + 10 -5,5，-892,891}

绝对最小值是 #(-9)^3+10# （发生在 #0#），间隔的绝对最大值是 #10#，（发生在 #3#)

问题并没有说明我们是要找到相对的还是绝对的极值，所以我们会找到两者。

相对极值只能在临界数量时发生。临界数字是。的值 #X# 属于的领域 #F# 以及哪一个 #F'（X）= 0# 或#f'（x）不存在。（费马定理）

闭区间的绝对极值可以发生在区间中的临界数或区间的中点处。

因为这里询问的功能是连续的 #-1,3#，极值定理向我们保证 #F# 在间隔上必须同时具有绝对最小值和绝对最大值。

关键数字和相对极值。

对于 #f（x）=（x ^ 2-9）^ 3 + 10#，我们发现 #f'（x）= 6x（x ^ 2-9）^ 2#.

显然， #F'# 永远不会存在，所以没有那种关键数字。

解决 #6x（x ^ 2-9）^ 2 = 0# 产出解决方案 #-3#, #0#，和 #3#.

#-3# 不属于这个问题的范畴， #-1,3# 所以我们只需要检查 #F（0）# 和 #F（3）#

对于 #x <0#，我们有 #f'（x）<0# 和

对于 #x> 0#，我们有 #f'（x）> 0#.

所以，通过一阶导数测试， #F（0）# 是相对最小值。 #f（0）= -9 ^ 3 + 10#.

区间中的另一个关键数字是 #3#。如果我们忽略域限制，我们就会发现 #f'（x）> 0# 对全部 #X# 近 #3#。因此，该函数在包含的小开放区间内增加 #3#。因此，如果我们停下来在 #3# 我们达到了最高点在域中.

有不普遍协议是否这样说 #F（3）= 10# 是此函数的相对最大值 #-1,3#.

有些需要价值在双方为了更少，其他人要求在任何一方的域中的值更少。

绝对极值

封闭区间绝对极值的情况 #A，B# 更简单。

在封闭的时间间隔内查找关键数字。打电话给 #c_1，c_2# 等等。

计算值 #f（a），f（b），f（c_1），f（c_2）# 等等。最大值是区间上的绝对maixmum，最小值是区间上的绝对最小值。

在这个问题中我们计算 #f（-1）=（-8）^ 3 + 10#, #f（-3）= 10# 和 #f（0）=（-9）^ 3 + 10#.

最低限度是 #f（0）=（-9）^ 3 + 10# 和

最大值是 #f（-3）= 10#.