F（x，y）= x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y的极值和鞍点是什么？

我发现没有马鞍点，但至少有：

#f（1/3，-2 / 3）= -1 / 3#

为了找到极值，取相对于的偏导数 #X# 和 #Y# 看两个偏导数是否可以同时相等 #0#.

#（（delf）/（delx））_ y = 2x + y#

#（（delf）/（dely））_ x = x + 2y + 1#

如果他们同时必须相等 #0#，他们形成了一个 方程组:

#2（2x + y + 0 = 0）#

#x + 2y + 1 = 0#

这个 线性 方程组，当减去抵消时 #Y#，给出：

#3x - 1 = 0 =>颜色（绿色）（x = 1/3）#

#=> 2（1/3）+ y = 0#

#=>颜色（绿色）（y = -2/3）#

由于方程是线性的，因此只有一个临界点，因此只有一个极值。二阶导数将告诉我们它是最大值还是最小值。

#（（del ^ 2f）/（delx ^ 2））_ y =（（del ^ 2f）/（dely ^ 2））_ x = 2#

这些第二部分是一致的，所以图表沿着凹陷向上凹陷 #X# 和 #Y# 轴。

的价值 #F（X，Y）# 在临界点是（通过插回原始方程）：

#color（绿色）（f（1/3，-2 / 3））=（1/3）^ 2 +（1/3）（ - 2/3）+（ - 2/3）^ 2 +（ - 2/3）#

#= 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 =颜色（绿色）（ - 1/3）#

因此，我们有一个 最低限度 的 #color（蓝色）（f（1/3，-2 / 3）= -1/3）#.

现在，为了 横衍生物 检查可能沿对角线方向的任何鞍点：

#（（del ^ 2f）/（delxdely））_（y，x）=（（del ^ 2f）/（delydelx））_（x，y）= 1#

由于这些都是一致的，而不是相反的标志，有 没有马鞍点.

我们可以看到这个图表看起来如何检查：