F（x，y）= x ^ 2y-y ^ 2x的极值和鞍点是什么？

回答：

鞍点在原点。

我们有：

#f（x，y）= x ^ 2y -y ^ 2x#

因此我们推导出偏导数。请记住，当部分区分时，我们将有问题的变量区分开来，同时将其他变量视为常数。所以：

#（部分f）/（部分x）= 2xy-y ^ 2 # 和 # （部分f）/（部分y）= x ^ 2-2yx#

在极值或鞍点处，我们有：

#（部分f）/（部分x）= 0 # 和 # （部分f）/（部分y）= 0 # 同时：

即同时解决：

#2xy-y ^ 2 = 0 => y（2x-y）= 0 => y = 0，x = 1 / 2y#

#x ^ 2-2yx = 0 => x（x-2y）= 0 => x = 0，x = 1 / 2y#

因此，起源只有一个临界点 #(0,0)#。为了确定临界点的性质，需要多变量泰勒级数的分析师，以及以下测试结果：

#Delta =（partial ^ 2 f）/（partial x ^ 2）（partial ^ 2 f）/（partial y ^ 2） - {（partial ^ 2 f）/（partial x partial y）} ^ 2 <0 =># 马鞍点

所以我们计算第二个偏导数：

#（partial ^ 2f）/（partial x ^ 2）= 2y #;# （partial ^ 2f）/（partial y ^ 2）= -2x # 和 # （部分^ 2 f）/（部分x部分y）= 2x-2y#

等等 #x = 0，y = 0# 我们得到：

#Delta =（0）（0） - {0-0} ^ 2 = 0#

这意味着标准鞍座测试具有包容性，需要进一步分析。（这通常包括在不同切片上查看函数的符号，或者查看超出此问题范围的第三个偏导数测试！）。

我们还可以查看3D绘图并快速得出结论，临界点似乎与鞍点相对应：