F（x，y）= 6 sin（-x）* sin ^ 2（y）在[-pi，pi]的区间x，y上的极值和鞍点是多少？

回答：

说明：

我们有：

#f（x，y）= 6sin（-x）sin ^ 2（y）#

# = -6sinxsin ^ 2y#

第2步 - 确定关键点

关键点出现在同时解决的问题上

#f_x = f_y = 0 iff（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0#

即：

#{:(f_x = -6cosxsin ^ 2y，= 0，… A），（f_y = -6sinxsin2y，= 0，… B）：}}# 同时

考虑方程A

#-6cosxsin ^ 2y = 0#

然后我们有两个解决方案：

#cosx = 0 => x = + - pi / 2#

#sin y = 0 => y = 0，+ - pi#

现在让我们使用Eq B来找到相应的坐标：

#x = + -pi / 2 => sin2y = 0#

# => 2y = + -pi，+ - 2pi => y = + - pi / 2，+ -pi#

#y = 0，+ - pi => RR in RR# （水槽）

这给了我们以下关键点：

#（+ -pi / 2，+ -pi / 2） # （4个关键点）

#（+ -pi / 2，+ -pi） # （4个关键点）

RR中的#（alpha，0） AA alpha # （阴沟线）

RR中的#（alpha，+ -pi） AA alpha # （2个阴沟线）

考虑方程B

#-6sinxsin2y = 0#

然后我们有两个解决方案：

#sinx = 0 => x = 0，+ - pi#

#sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi，+ -2pi#

# => y = 0，+ -pi / 2，+ - pi#

现在让我们使用Eq A找到相应的坐标@

#x = 0，+ - pi => siny = 0 => y = 0，+ - pi# （以上重复）

#y = 0 => RR中的x# （重复上述）

#y = + -pi / 2 => cosx = 0#

# => x = + - pi / 2# （以上重复）

这给了我们没有额外的关键点：

第3步 - 对关键点进行分类

为了对临界点进行分类，我们使用第二偏导数和Hessian矩阵执行类似于一个变量微积分的测试。

#Delta = H f（x，y）= | （f_（x x） f_（xy）），（f_（yx） f_（yy））| = | （（partial ^ 2 f）/（partial x ^ 2），（partial ^ 2 f）/（partial x partial y）），（（partial ^ 2 f）/（partial y partial x），（partial ^ 2 f ）/（部分y ^ 2））| = f_（x x）f_（yy） - （f_（xy））^ 2#

然后取决于的价值 #三角洲#:

#{:(Delta> 0，“如果”f_（xx）<0则有最大值，（，“如果”f_（xx）> 0则为最小值），（Delta <0，“有一个鞍点” ），（Delta = 0，“需要进一步分析”）：}#

使用自定义Excel宏，函数值和偏导数值计算如下：

这是一个功能图

并且具有关键点（和排水沟）的ploit