F（x，y）= 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2的极值和鞍点是什么？

回答：

#{:(“临界点”，“结论”），（（0,0），“min”），（（ - 1，-2），“saddle”），（（ - 1,2），“saddle” “），（（ - 5 / 3,0），”max“）：}#

说明：

识别极值的理论 #Z = F（X，Y）# 是：

同时解决关键方程

#（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0 # （即 #z_x = z_y = 0#)
评估 #f_（x x），f_（yy）和f_（xy）（= f_（yx））# 在每个关键点。因此评估 #Delta = f_（x x）f_（yy）-f_（xy）^ 2# 在这些点上
确定极值的本质;

#{:(Delta> 0，“如果”f_（xx）<0则有最小值，（，“如果”f_（yy）> 0则为最大值），（Delta <0，“有一个鞍点” ），（Delta = 0，“需要进一步分析”）：}#

所以我们有：

#f（x，y）= 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2#

让我们找到第一个偏导数：

#（部分f）/（部分x）= 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x#

#（部分f）/（部分y）= 2xy + 2y#

所以我们的关键方程是：

#6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0#

#2xy + 2y = 0#

从第二个等式我们得到：

#2y（x + 1）= 0 => x = -1，y = 0#

替补 #X = -1# 进入第一个等式，我们得到：

#6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2#

替补 #Y = 0# 进入第一个等式，我们得到：

#6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x（3x + 5）= 0 => x = -5 / 3,0#

所以我们有四带坐标的临界点;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

那么，现在让我们看看第二个偏导数，以便我们确定关键点的性质：

# （partial ^ 2f）/（partial x ^ 2）= 12x + 10#

# （部分^ 2f）/（部分y ^ 2）= 2x + 2#

#（partial ^ 2f）/（partial x partial y）= 2y （=（partial ^ 2f）/（partial y partial x））#

我们必须计算：

#Delta =（partial ^ 2f）/（partial x ^ 2）（partial ^ 2f）/（partial y ^ 2） - （（partial ^ 2f）/（partial x partial y））^ 2#

在每个关键点。第二个偏导数值， #三角洲#，结论如下：

#{:(“临界点”，（部分^ 2f）/（部分x ^ 2），（部分^ 2f）/（部分y ^ 2），（部分^ 2f）/（部分x部分y），Delta， “结论”），（（0,0），10,2,0，gt 0，f_（xx）> 0 =>“min”），（（ - 1，-2）， - 2,0,4， lt 0，“saddle”），（（ - 1,2）， - 2,0,4，lt 0，“saddle”），（（ - 5 / 3,0）， - 10，-4 / 3,0 ，gt 0，f_（xx）<0 =>“max”）：}#

如果我们看一下3D图，我们可以看到这些关键点：