F（x，y）= xy（e ^（y ^ 2）-e ^（x ^ 2））的极值和鞍点是什么？

回答：

#{:(“关键点”，“结论”），（（0,0,0），“马鞍”）：}#

说明：

识别极值的理论 #Z = F（X，Y）# 是：

1. 同时解决关键方程

   #（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0 # （即 #F_X = f_y = 0#)

2. 评估 #f_（x x），f_（yy）和f_（xy）（= f_（yx））# 在每个关键点。因此评估 #Delta = f_（x x）f_（yy）-f_（xy）^ 2# 在这些点上
3. 确定极值的本质;

   #{:(Delta> 0，“如果”f_（xx）<0则有最小值，（，“如果”f_（yy）> 0则为最大值），（Delta <0，“有一个鞍点” ），（Delta = 0，“需要进一步分析”）：}#

所以我们有：

#f（x，y）= xy（e ^（y ^ 2）-e ^（x ^ 2））#

#“”= xye ^（y ^ 2） - xye ^（x ^ 2）#

让我们找到第一个偏导数：

#（部分f）/（部分x）= ye ^（y ^ 2）+ {（-xy）（2xe ^（x ^ 2））+（-y）（e ^（x ^ 2））}#

# = ye ^（y ^ 2）-2x ^ 2ye ^（x ^ 2）-ye ^（x ^ 2）#

#（部分f）/（部分y）= {（xy）（2ye ^（y ^ 2））+（x）（e ^（y ^ 2））} - xe ^（x ^ 2）#

# = 2xy ^ 2e ^（y ^ 2）+ xe ^（y ^ 2） - xe ^（x ^ 2）#

所以我们的关键方程是：

#ye ^（y ^ 2）-2x ^ 2ye ^（x ^ 2）-ye ^（x ^ 2）= 0 => y（e ^（y ^ 2）-2x ^ 2e ^（x ^ 2） - e ^（x ^ 2））= 0#

#2xy ^ 2e ^（y ^ 2）+ xe ^（y ^ 2） - xe ^（x ^ 2）= 0 => x（2y ^ 2e ^（y ^ 2）+ e ^（y ^ 2） - e ^（x ^ 2））= 0#

从这些方程式我们得到：

#y = 0# 要么 #e ^（y ^ 2）-e ^（x ^ 2）= 2x ^ 2e ^（x ^ 2）#

#x = 0# 要么 #e ^（y ^ 2） - e ^（x ^ 2）= -2y ^ 2e ^（y ^ 2）#

而唯一的同步解决方案是 #X = Y = 0#

所以我们有 一 起源的关键点

那么，现在让我们看看第二个偏导数，以便我们可以确定临界点的性质（我只是引用这些结果）：

# （partial ^ 2f）/（partial x ^ 2）= -4x ^ 3ye ^（x ^ 2）-6xye ^（x ^ 2）#

# （partial ^ 2f）/（partial y ^ 2）= 4xy ^ 3e ^（y ^ 2）+ 6xye ^（y ^ 2）#

#（partial ^ 2f）/（partial x partial y）= e ^（y ^ 2）-e ^（x ^ 2）-2x ^ 2e ^（x ^ 2）+ 2y ^ 2e ^（y ^ 2） （=（部分^ 2f）/（部分y部分x））#

我们必须计算：

#Delta =（partial ^ 2f）/（partial x ^ 2）（partial ^ 2f）/（partial y ^ 2） - （（partial ^ 2f）/（partial x partial y））^ 2#

在每个关键点。第二个偏导数值， #三角洲#，结论如下：

#{:(“临界点”，（部分^ 2f）/（部分x ^ 2），（部分^ 2f）/（部分y ^ 2），（部分^ 2f）/（部分x部分y），Delta， “结论”），（（0,0,0），0,0,0，= 0，“包含”）：}#

因此，在完成所有工作之后获得包容性结果是相当令人失望的，但如果我们检查关键点周围的行为，我们可以很容易地确定它是一个鞍点。

如果我们看一下3D图，我们可以看到这些关键点：