你如何整合int 3 *（csc（t））^ 2 / cot（t）dt？

回答：

用一个 #U#-substitution得到 #-3lnabs（COT（T））+ C#.

说明：

首先，请注意，因为 #3# 是一个常数，我们可以把它从积分中拉出来简化：

#3int（CSC ^ 2（t））的/ COT（吨）DT#

现在 - 这是最重要的部分 - 注意到的衍生物 #cot（t）的# 是 #-csc ^ 2（t）的#。因为我们有一个函数及其衍生物存在于同一个积分中，所以我们可以应用一个 #U# 替换像这样：

#U = COT（吨）#

#（DU）/ dt的= -csc ^ 2（t）的#

#杜= -csc ^ 2（t）的DT#

我们可以转换积极的 #CSC ^ 2（t）的# 像这样的负面：

#-3int（-csc ^ 2（t））的/ COT（吨）DT#

并应用替换：

#-3int（DU）/ U#

我们知道 #int（DU）/ U = lnabs（U）+ C#，所以评估积分是完成的。我们只需要反向替代（把答案放回去 #T#并附上那个 #-3# 结果。以来 #U = COT（吨）#， 我们可以说：

#-3（lnabs（U）+ C）= - 3lnabs（COT（T））+ C#

就这样。

回答：

#3ln | csc 2t -cot 2t | + const。= 3ln | tan t | + const。#

说明：

#3 int csc ^ 2 t / cot t dt =#

#= 3 int（1 / sin ^ 2 t）*（1 /（cos t / sin t））dt#

#= 3 int dt /（sin t * cos t）#

记住这一点

#sin 2t = 2sint * cost#

所以

#= 3int dt /（（1/2）sin 2t）#

#= 6int csc 2t * dt#

我们可以在积分表中找到

（例如SOS Math中包含Csc（ax）的积分表）：

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan（（ax）/ 2）|#

我们得到了这个结果

#= 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const。#