回答：
是
说明：
首先，我们必须找到两个圆心之间的距离。这是因为这个距离是圆圈最接近的位置，所以如果它们重叠，它将沿着这条线。要找到这个距离，我们可以使用距离公式：
现在我们必须找到每个圆的半径。我们知道圆的面积是
最后，我们将这两个半径加在一起。半径之和为13，其大于圆的中心之间的距离，这意味着圆将重叠。
圆圈A的中心位于（3,5），面积为78 pi。圆圈B的中心位于（1,2），面积为54 pi。圆圈是否重叠？
是的首先，我们需要两个中心之间的距离，即D = sqrt（（Deltax）^ 2 +（Deltay）^ 2）D = sqrt（（5-2）^ 2 +（3-1）^ 2） = sqrt（3 ^ 2 + 2 ^ 2）= sqrt（9 + 4）= sqrt（13）= 3.61现在我们需要半径之和，因为：D>（r_1 + r_2）;“圆圈不重叠” D =（r_1 + r_2）;“圈子只是触摸”D <（r_1 + r_2）;“圈子重叠”pir_1“”^ 2 = 78pi r_1“”^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2“”^ 2 = 54pi r_2“”^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61，因此圆圈重叠。证明：图{（（x-3）^ 2 +（y-5）^ 2-54）（（x-1）^ 2 +（y-2）^ 2-78）= 0 [-20.33,19.67， -7.36,12.64]}
圆圈A的中心位于（6,5），面积为6 pi。圆圈B的中心位于（12,7），面积为48 pi。圆圈是否重叠？
由于（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2 = 40 quad和4（6）（48） - （40 - 6 - 48）^ 2 = 956> 0我们可以制作一个边长为正方形的三角形48,6和40，所以这些圆相交。 ＃为什么无偿的pi？该区域是A = pi r ^ 2，因此r ^ 2 = A / pi。因此第一个圆的半径为r_1 = sqrt {6}，第二个圆为{sq} {48} = 4 sqrt {3}。中心是sqrt {（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10}。因此，如果sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10}，则圆圈会重叠。这太难看了，你得到了计算器的原谅。但这真的没有必要。让我们绕道而行，看看如何使用Rational Trigonometry完成这项工作。我们只关注平方长度，称为quadrances。假设我们想测试三个方程A，B，C是三个共线点之间的四分之一，即sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C}或sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt { C}，或sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B}。我们将其写为pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} Squaring，C = A + B pm 2 sqrt {AB} C - AB = pm 2 sqrt {AB}再次平方
圆圈A的中心位于（1,5），面积为24 pi。圆圈B的中心位于（8,4），面积为66 pi。圆圈是否重叠？
是的，圆圈重叠。从圆心A到圆心B的距离= 5sqrt2 = 7.071它们的半径之和= sqrt66 + sqrt24 = 13.023上帝保佑....我希望这个解释很有用..