圆圈A的中心位于（3,5），面积为78 pi。圆圈B的中心位于（1,2），面积为54 pi。圆圈是否重叠？

回答：

是

说明：

首先，我们需要两个中心之间的距离，即 #d = SQRT（（DELTAX）^ 2 +（DELTAY）^ 2）#

#d = SQRT（（5-2）^ 2 +（3-1）^ 2）= SQRT（3 ^ 2 + 2 ^ 2）= SQRT（9 + 4）= SQRT（13）= 3.61#

现在我们需要半径之和，因为：

#D>（r_1 + r_2）;“圈子不重叠”#

#D =（r_1 + r_2）;“圈子只是触摸”#

#D <（r_1 + r_2）;“圈子重叠”#

#pir_1 “” ^ 2 = 78pi#

#R_1 “” ^ 2 = 78#

#R_1 = sqrt78#

#pir_2 “” ^ 2 = 54pi#

#R_2 “” ^ 2 = 54#

#R_2 = sqrt54#

#sqrt78 + sqrt54 = 16.2#

#16.2>3.61#，所以圈子重叠。

证明：

图{（（x-3）^ 2 +（y-5）^ 2-54）（（x-1）^ 2 +（y-2）^ 2-78）= 0 -20.33,19.67，-7.36 ，12.64}

回答：

这些重叠如果 #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {（3-1）^ 2 +（5-2）^ 2} = sqrt {13}。#

我们可以跳过计算器并检查 #4（13）（54）ge（78-13-54）^ 2# 要么 #4(13)(54) > 11^2# 它肯定是，所以是的，重叠。

说明：

圆形区域当然是 #pi r ^ 2# 所以我们分出了无偿的 #PI#秒。

我们有半径

#r_1 ^ 2 = 78#

#R_2 ^ 2 = 54#

和中心之间的平方距离

#d ^ 2 =（3-1）^ 2 +（5-2）^ 2 = 13#

基本上我们想知道是否 #r_1 + r_2 ge d#，即如果我们可以用两个半径和中心之间的区段制作一个三角形。

平方长度都是很好的整数，我们都本能地到达计算器或计算机并开始取平方根，这是非常疯狂的。

我们没有，但它需要一点点绕道而行。让我们使用Heron的公式，称之为区域 #Q |.

#Q = sqrt {s（s-a）（s-b）（s-c）}# 哪里 #s =（a + b + c）/ 2#

#Q ^ 2 =（（a + b + c）/ 2）（（（a + b + c）/ 2）-a）（（（a + b + c）/ 2）-b）（（（a + b + c）/ 2）-c）#

#16Q ^ 2 =（a + b + c）（a + b + c-2a）（a + b + c-2b）（a + b + c-2c）#

#16Q ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#

那已经比苍鹭好了。但我们继续。我会跳过一些乏味的东西。

#16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#

正如我们对区域公式所期望的那样，这是非常对称的。让它看起来不那么对称。召回

#（c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2）^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2#

添加，

#16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - （c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2）^ 2#

这是一个三角形的平方区域的公式，给定了两边的平方长度。当后者是理性的，前者也是理性的。

我们来试试吧。我们可以自由地分配我们喜欢的方面;用手计算最好的 #C# 最大的一面，

#c ^ 2 = 78#

#A ^ 2 = 54#

·B ^ 2 = 13#

#16Q ^ 2 = 4（54）（13） - （78-54-13）^ 2 = 4（54）13 - 11 ^ 2#

即使在计算之前，我们也可以看到我们有积极的一面 #16Q ^ 2# 所以一个真正的三角形有一个正面积，所以重叠圆圈。

#16Q ^ 2 = 2687#

如果我们得到一个负值，一个假想的区域，那不是一个真正的三角形，所以不重叠的圆圈。