圆圈A的中心位于（6,5），面积为6 pi。圆圈B的中心位于（12,7），面积为48 pi。圆圈是否重叠？

回答：

以来

#（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2 = 40 quad# 和

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

我们可以用方形边48,6和40制作一个真正的三角形，所以这些圆相交。

说明：

为什么无缘无故 #PI#?

该地区是 #A = pi r ^ 2# 所以 #R ^ 2 = A / PI。# 所以第一个圆圈有一个半径 #R_1 = SQRT {6}# 第二个 #r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3}#.

这些中心是 #sqrt {（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10}# 分开。

所以圈子重叠如果 #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10}#.

这太难看了，你得到了计算器的原谅。但这真的没有必要。让我们绕道而行，看看如何使用Rational Trigonometry完成这项工作。我们只关注平方长度，称为 quadrances.

假设我们想测试三个四分位数 #A，B，C# 是三个共线点之间的四分之一，即 #sqrt {A} = SQRT {B} + SQRT {C}# 要么 #sqrt {B} = SQRT {A} + SQRT {C}，# 要么 #sqrt {C} = SQRT {A} + SQRT {B}#。我们会把它写成

#pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B}#

磨边，

#C = A + B pm 2 sqrt {AB}#

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB}#

再次平息，

#（C-A-B）^ 2 = 4AB#

#0 = 4AB - （C-A-B）^ 2#

事实证明

#mathcal {A} = 4AB - （C-A-B）^ 2#

是一个 判别 对于三角形。我们只是展示了 #mathcal {A} = 0# 这意味着我们有一个 退化三角形， 由三个共线点组成。如果 #mathcal {A}> 0# 然后我们有一个 真三角形， 每一方都少于另外两方的总和。如果 #mathcal {A} <0# 我们没有满足三角不等式的边，我们有时称之为 假想的三角形。

让我们回到我们的问题，我们的新三角判别法 #mathcal {A}#。如果圆相交，我们可以制作两个中心的三角形和一个交点，所以两边都有长度 #R_1#, #R_2#，以及中心之间的距离 #(6,5)# 和 #(12,7)#。我们有

#A = r_1 ^ 2 = 6#

#B = r_2 ^ 2 = 48#

#C =（12-6）^ 2 +（7-5）^ 2 = 40#

#mathcal {A} = 4AB - （C-A-B）^ 2 = 4（6）（48） - （40 - 6 - 48）^ 2 = 956#

#mathcal {A}> 0# 所以我们有一个真正的三角形，即重叠的圆圈。

哦，是的，任何三角形 #mathcal {A} = 16（text {area}）^ 2。#

检查：Alpha