我如何解决2sinx = cos（x / 3）？

回答：

我们的近似解决方案是

#x = {163.058 ^ circ，703.058 ^ circ，29.5149 ^ circ，569.51 ^ circ，-192.573 ^ circ，或-732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad#

对于整数 #K#.

说明：

#2 sin x = cos（x / 3）#

这是一个非常艰难的一个。

让我们从设置开始 #Y = X / 3# 所以 #X = 3Y# 并代以。然后我们可以使用三角公式：

#2 sin（3y）= cos y#

#2（3 sin y - 4 sin ^ 3 y）= cos y#

让我们正方形，这样我们就用一切来写 #sin ^ 2 y#。这可能会引入无关的根源。

#4 sin ^ 2y（3 - 4 sin ^ 2y）^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y#

让 #s = sin ^ 2 y#。平方的正弦被称为 利差 在Rational Trigonometry中。

#4 s（3 - 4s）^ 2 = 1 - s#

#4 s（9 - 24 s + 16 s ^ 2）= 1 - s#

#64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0#

这是一个具有三个真实根的立方方程，是方形正弦的候选者 #3倍。# 我们可以使用立方公式，但这只会导致复数的一些立方根不是特别有用。我们来看一个数值解决方案：

#s 0.66035或s 0.029196或s 0.81045#

#x = 3y = 3 arcsin（pm sqrt {s}）#

让我们在学位上工作。我们潜在的近似解决方案是

#x = 3 arcsin（ pm sqrt {0.66035}）约 pm 163.058 ^ circ或 pm 703.058 ^ circ#

#x = 3 arcsin（ pm sqrt {0.029196}）约 pm 29.5149 ^ circ或 pm 569.51 ^ circ#

#x = 3 arcsin（ pm sqrt {0.81045}）约 pm 192.573 ^ circ或pm 732.573 ^ circ#

让我们看看是否有任何工作。让 #e（x）= 2 sin x - cos（x / 3）#

#e（163.058 ^ circ）约0.00001 quad# 这是一个解决方案。

#e（-163.058 ^ circ）约-1.17 quad# 不是解决方案。

显然最多只有一个 #下午# 对将工作。

还有十个要去。

#e（703.058 ^ circ）约0.00001 quad sqrt#

#e（-703.058 ^ circ）quad# 不

#e（29.5149 ^ circ）约10 ^ { - 6} quad sqrt#

#e（-29.5149 ^ circ）quad# 不

#e（569.51 ^ circ）约10 ^ { - 4} quad sqrt#

#e（-569.51 ^ circ）quad# 不

#e（192.573 ^ circ）约-.87 quad# 不

#e（-192.573 ^ circ）约0.00001 quad sqrt#

#e（732.573 ^ circ）约-.87 quad# 不

#e（-732.573 ^ circ）约0.00001 quad sqrt#

arcsin附带一个 #+ 360 ^ circ k#，三个因素使它成为现实 #1080 ^ circ k。#

好的，我们的近似解决方案是：

#x = {163.058 ^ circ，703.058 ^ circ，29.5149 ^ circ，569.51 ^ circ，-192.573 ^ circ，-732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad# 对于整数 #K#.