根据您对复数的需要，三角形可能非常有用或非常棘手。
例如，让我们 #Z_1 = 1 + I#, #Z_2 = SQRT（3）+ I# 和 #z_3 = -1 + i sqrt {3}#.
让我们计算两个三角形式：
#theta_1 =反正切（1）= pi / 4的# 和 #rho_1 = SQRT {1 + 1} = SQRT {2}#
#theta_2 =反正切（1 / SQRT {3}）= PI / 6# 和 #rho_2 = SQRT {3 + 1} = 2#
#theta_3 = pi + arctan（-sqrt {3}）= 2/3 pi# 和 #rho_3 = SQRT {1 + 3} = 2#
所以三角形式是：
#z_1 = sqrt {2}（cos（pi / 4）+ i sin（pi / 4））#
#z_2 = 2（cos（pi / 6）+ i sin（pi / 6））#
#z_3 = 2（cos（2/3 pi）+ i sin（2/3 pi））#
加成
假设你想要计算 #Z_1 + Z_2 + Z_3#。如果你使用代数形式，你得到
#z_1 + z_2 + z_3 =（1 + i）+（sqrt {3} + i）+（ - 1 + i sqrt {3}）= sqrt {3} + i（2 + sqrt {3}）#
很容易。现在尝试使用三角形式…
#z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2}（cos（pi / 4）+ i sin（pi / 4））+ 2（cos（pi / 6）+ i sin（pi / 6））+ 2（cos（ 2/3 pi）+我犯罪（2/3 pi））#
事实证明，添加这两个表达式的最短方法是求解余弦和正弦，这意味着……转向代数形式！
代数形式通常是添加复数时最佳选择.
乘法
现在我们尝试计算 #Z_1 * Z_2 * Z_3#。使用代数形式需要大量恼人的计算。但使用三角形式求解此产品更简单：
#z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2}（cos（pi / 4）+ i sin（pi / 4））* 2（cos（pi / 6）+ i sin（pi / 6））* 2（cos（ 2/3 pi）+ i sin（2/3 pi））= 4 sqrt {2}（cos（pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi）+ i sin（pi / 4 + pi / 6 + 2） / 3 pi））= 4 sqrt {2}（cos（13/12 pi）+ i sin（13/12 pi））#
证明第二个平等的成分来自三角学：二者 加法公式
#sin（alpha + beta）= sin（alpha）cos（beta）+ sin（beta）cos（alpha）#
#cos（alpha + beta）= cos（alpha）cos（beta）-sin（alpha）sin（beta）#
复数的乘法以指数形式更清晰（但在概念上并不容易）。
在某种意义上，三角形式是代数形式和指数形式之间的一种中间形式。三角形式是在这两者之间切换的方式。在这个意义上，它是一种“翻译”形式的“字典”。
