设S是单位面积的平方。考虑在S的每一侧都有一个顶点的任何四边形。如果a，b，c和d表示四边形的边长，证明2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4？

让 #A B C D# 是一个单位面积的正方形。

所以 #AB = BC = CD = DA = 1# 单元。

让 #PQRS# 是一个四边形，在广场的每一边都有一个顶点。在这里 #PQ = B，QR = C，RS = dandSP = A#

应用毕达哥拉斯定理，我们可以写

#A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + d ^ 2#

#= X ^ 2 + Y ^ 2 +（1-X）^ 2 +（1-W）^ 2 + W ^ 2 +（1-Z）^ 2 + Z ^ 2 +（1-γ）^ 2#

#= 4 + 2（X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2-X-Y-Z-W）#

#= 2 + 2（1 + X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2-X-Y-Z-W）#

#= 2 + 2（（X-1/2）^ 2 +（Y-1/2）^ 2 +（Z-1/2）^ 2 +（W-1/2）^ 2）#

现在我们遇到的问题

#0 <= x <= 1 => 0 <=（x-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= y <= 1 => 0 <=（y-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= z <= 1 => 0 <=（z-1/2）^ 2 <= 1/4#

#0 <= w <= 1 => 0 <=（w-1/2）^ 2 <= 1/4#

于是

#2 <= A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + d ^ 2 <= 4#