表明三个相互垂直切面与椭圆体ax ^ 2 + ^ 2 + cz ^ 2 = 1的交点所描绘的路径是一个与椭圆体具有相同中心的球体。

回答：

见下文。

说明：

调用 #E-> F（X，Y，Z）= AX ^ 2 +通过^ 2 + CZ ^ 2-1 = 0#

如果 E#中的#p_i =（x_i，y_i，z_i）# 然后

#ax_ix + by_iy + cz_iz = 1# 是一个切线的平面 ·E· 因为有共同点和 #vec n_i =（ax_i，by_i，cz_i）# 是正常的 ·E·

让 #Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta# 是一个普通的平面切线 ·E· 然后

#{（x_i = alpha /（delta）），（y_i = beta /（bdelta）），（z_i = gamma /（c delta））：}#

但

#ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1# 所以

#阿尔法^ 2 / A +的β^ 2 / B +伽马^ 2 / C =增量^ 2# 通用切平面方程是

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt（alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c）#

现在给出三个正交平面

#Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i#

并打电话 #vec v_i =（alpha_i，beta_i，gamma_i）# 和制作

#V =（（vec v_1），（vec v_2），（vec v_3））# 我们可以选择

#V cdot V ^ T = I_3#

结果

#V ^ Tcdot V = I_3#

那我们也有

#{（sum_i alpha_i ^ 2 = 1），（sum_i beta_i ^ 2 = 1），（sum_i gamma_i ^ 2 = 1），（sum_i alpha_i beta_i = 0），（sum_i alpha_i gamma_i = 0），（sum_i beta_i gamma_i = 0）：}#

现在添加 #sum_i（alpha_i x + beta_iy + gamma_iz）^ 2# 我们有

#x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2（xy sum（alpha_i beta_i）+ xzsum（alpha_i gamma_i）+ sum（beta_i gamma_i））= sum_i delta_i ^ 2#

最后

#x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2#

但 #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c#

所以

#的x ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 = 1 / A + 1 / B + 1 / C#

这是三个相互垂直的切面与椭圆体的交点所描绘的路径。

附上椭球的图

#的x ^ 2 + 2Y ^ 2 + 3Z ^ 2 = 1#