回答：
#x = arctan（-3）+ 180 ^ circ k或x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad# 对于整数 #k中。#
说明：
我已经用两种不同的方式解决了这个问题，但我认为第三种方式是最好的。余弦有几种双角公式。让我们不要被他们中的任何一个诱惑。我们也要避免对方程求平方。
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0#
#cos 2x + 2 sin 2x = -2#
余弦和正弦的线性组合是相移余弦。
让 #r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2}# 和
#theta = text {Arc} text {tan}（2/1）#
我在第一象限中指出了主要的反正切 #THETA = 63.4 ^ CIRC#。我们放心了
#r cos theta = sqrt {5}（1 / sqrt {5}）= 1#
#r sin theta = sqrt {5}（2 / sqrt {5}）= 2#
所以我们可以重写我们的等式
#sqrt {5}（（1 / sqrt {5}）cos 2x +（2 / sqrt {5}）sin 2x）= -2#
#（1 / sqrt {5}）cos 2x +（2 / sqrt {5}）sin 2x = -2 / sqrt {5}#
#cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5}#
#cos（2x - theta）= sin（-theta）#
#cos（2x - theta）= cos（90 ^ circ + theta）#
永远记住一般的解决方案 #cos x = cos a# 是 #x = pm a + 360 ^ circ k quad# 对于整数 #K#.
#2x - theta = pm（90 ^ circ + theta）+ 360 ^ circ k#
#2x = theta pm（90 ^ circ + theta）+ 360 ^ circ k#
#x = theta / 2 pm（45 ^ circ + theta / 2）+ 180 ^ circ k#
一次拿一个标志，
#x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k或x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k#
#phi = theta + 45 ^ circ# 是一个常数，我们可以尝试获得更好的表达：
#tan（phi）= tan（arctan（2）+ 45 ^ circ）#
#= {tan arctan（2）+ tan（45 ^ circ）} / {1- tan（arctan（2））tan（45 ^ circ）} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3#
我们知道 ##披 是在第二象限，而不是在通常的主要值范围内。
#phi = text {Arc} text {tan}（ - 3）+ 180 ^ circ#
事实证明并不重要，因为我们正在补充 #180 ^ circ k# 至 ##披 无论如何，在一般的解决方案。把它们放在一起，
#x = arctan（-3）+ 180 ^ circ k或x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k#
我们不必一丝不苟地了解arctan的主要价值;因为我们正在添加 #180 ^ circ k# 任何价值都可以。我们可以写第一个 #X =反正切（-3）# 随着 #180 ^ circ k# 暗示，但让我们留在这里。
