为什么我们不能整合x ^ x？

回答：

我们没有规则。

说明：

在积分中，我们有标准规则。反链规则，反产品规则，反权规则等。但我们没有一个功能有一个 #X# 在基地和权力。我们可以很好地利用它的衍生物，但是由于缺乏可以使用的规则，因此尝试取其积分是不可能的。

如果您打开Desmos图形计算器，您可以尝试插入

#int_0 ^ x a ^ ada#

它会把它描绘得很好。但是，如果您尝试使用反幂规则或反指数规则对其进行绘图，您将看到它失败。当我试图找到它时（我还在努力），我的第一步是将它从这个表格中删除，并进入以下内容：

#INTE ^（XLN（X））DX#

这基本上允许我们更好地使用微积分规则。但即使使用按部件集成，您也从未真正摆脱积分。因此，您实际上并没有获得确定它的函数。

但是和数学一样，实验也很有趣。所以继续尝试，但不要太长或太难，你会被吸进这个兔子洞。

回答：

见下文。

说明：

#y = x ^ x# 可以整合。例如

#int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 …#

另一件事是现在有一个日子，一个功能 #F（x）的# 它以封闭的形式表示，原始的 #χ^ X# 换句话说，就是这样

#d /（dx）f（x）= x ^ x#

如果这是技术科学问题中常用的功能，那么我们肯定会发明一种不同的名称和符号来操纵它。就像定义为的Lambert函数一样

#W（x）= x e ^ x#

回答：

请看下面。

说明：

正如切萨雷奥所说（不说），“我们无法整合”存在一些含糊之处。

功能 #f（x）= x ^ x# 是持续的 #（0， ）#

并且 #0， ）# 如果我们做 #F（0）= 1#，那就让我们这样做吧。因此，定积分

#int_a ^ b x ^ x dx# 确实存在 #0 <= a <= b#

此外，calulus的基本定理告诉我们函数 #int_0 ^ x t ^ t dt# 有衍生物 #χ^ X# 对于 #x> = 0#

我们不能做的是用一种漂亮的，有限的，封闭的代数表达式（或者甚至是众所周知的超越函数）来表达这个函数。

除了允许连续更好近似的形式外，数学中有许多东西无法表达。

例如：

正方形的数字 #2# 不能使用有限表达式以十进制或小数形式表示。所以我们给它一个符号， #SQRT2# 并将其近似为任何所需的准确度。

圆周与圆直径的比率不能用整数的有限代数组合有限地表示，所以我们给它起一个名字， #PI# 并将其近似为任何所需的准确度。

解决方案 #X = cosx# 也可以近似于任何所需的准确度，但不能有限地表达。这个数字（也许）不够重要，无法给出一个名字。

正如切萨雷奥所说，如果是积分的话 #χ^ X# 有许多应用程序，数学家会采用它的名称。

但计算仍然需要无限近似。