回答：
找到最小值 #4 cos theta + 3 sin theta。 #
线性组合是相移和缩放的正弦波，其尺度由极坐标系数的大小决定， # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5，# 所以至少 #-5#.
说明：
找到最小值 #4 cos theta + 3 sin theta#
相同角度的正弦和余弦的线性组合是相移和缩放。我们认识到毕达哥拉斯三重奏 #3^2+4^2=5^2.#
让 ##披 是这样的角度 #cos phi = 4/5# 和 #sin phi = 3/5#。角度 ##披 是的主要价值 #arctan（3/4）# 但这对我们来说并不重要。对我们来说重要的是我们可以重写我们的常量： #4 = 5 cos phi# 和 #3 = 5 sin phi#。所以
#4 cos theta + 3 sin theta#
#= 5（cos phi cos theta + sin phi sin theta）#
#= 5 cos（theta - phi）#
所以至少有 #-5#.
回答：
#-5# 是所需的最小值。
说明：
除以等式 #3sinx + 4cosx# 通过 #sqrt（A ^ 2 + B ^ 2）# 把它减少到形式 #sin（x + -alpha）或cos（x + -alpha）# 哪里 #一个# 和 #B#
是系数 #sinx的# 和 #cosx# 分别。
#rarr3sinx + 4cosx#
#= 5 sinx的*（3/5）+ cosx *（4/5）#
让 #cosalpha = 3/5# 然后 #sinalpha = 4/5#
现在， #3sinx + 4cosx#
#= 5 sinx的* cosalpha + cosx * sinalpha#
#= 5sin（X +阿尔法）= 5sin（X +阿尔法）#
的价值 #5sin（X +阿尔法）# 将是最小的 #sin（X +阿尔法#）是最小值和最小值 #sin（X +阿尔法）# 是 #-1#.
所以，最小值 #5sin（X +阿尔法）= - 5#
