Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x你能解决这个问题吗？

回答：

#x = pi / 5#

#x =（3pi）/ 5#

#x = pi#

说明：

我们有：

#（sin ^ 2x + cos ^ 2x）（sin ^ 2x-cos ^ 2x）= cos（3x）#

#1（sin ^ 2x - cos ^ 2x）= cos（3x）#

#-cos（2x）= cos（3x）#

#0 = cos（3x）+ cos（2x）#

#0 = cos（2x）cos（x） - sin（2x）sinx + cos（2x）#

#0 =（2cos ^ 2x -1）cosx-2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1#

#0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1#

#0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2（1 cos ^ 2x）cosx + 2cos ^ 2x - 1#

#0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2（cosx - cos ^ 3x）+ 2cos ^ 2x- 1#

#0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1#

#0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1#

让 #u = cosx#.

#0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1#

我们看到了 #u = -1# 是一个因素。使用合成分区我们得到

#0 =（x + 1）（4x ^ 2 - 2x - 1）#

等式 #4x ^ 2 - 2x - 1 = 0# 可以使用二次公式求解。

#x =（2 + - sqrt（2 ^ 2 - 4 * 4 * -1））/（2 * 4）#

#x =（2 + - sqrt（20））/ 8#

#x =（1 + - sqrt（5））/ 4#

#x ~~ 0.809或-0.309#

以来 #cosx =你#，我们得到 #x = pi / 5，（3pi）/ 5# 和 #PI#.

哪里 #N# 是一个整数。

图表 #y_1 = sin ^ 4x-cos ^ 4x# 和 #y_2 = cos（3x）# 确认解决方案是交叉点。

希望这有帮助！

回答：

#x =（2k + 1）pi#

#x =（（2k - 1）pi）/ 5#

说明：

#sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x#

#（sin ^ 2 x + cos ^ 2 x）（sin ^ 2 x - cos ^ 2 x）= cos 3x#

#1（sin ^ 2 x - cos ^ 2 x）= cos 3x#

#-cos 2x = cos 3x#， 要么

#cos 3x = - cos 2x = cos（2x + pi）#

单位圆和cos的属性给 - >

#3x = + - （2x + pi）+ 2kpi#

一个。 #3x = 2x + pi + 2kpi#

#x =（2k + 1）pi#

如果k = 0 - > #x = pi#

湾 #3x = - 2x - pi + 2kpi#

#5x =（2k - 1）pi#, #x =（（2k - 1）pi）/ 5#

如果k = 1 - > #x = pi / 5#.

如果k = 0 - > #x = - pi / 5#， 要么 #x =（9pi）/ 5# （共 - 端子）

如果k = 2 - > #x =（3pi）/ 5#

在闭区间0,2pi中，答案是：

#0，（pi）/ 5，（3pi）/ 5，pi，（9pi）/ 5#

用计算器检查。

#x = pi / 5 = 36 ^ @# --> #sin ^ 4 x = 0.119# --> #cos ^ 4 x = - 0.428# - > cos 3x = - 309。

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309# 。证明

#x =（9pi）/ 5# -->#sin ^ 4 x = 0.119# --> #cos ^ 4 x = 0.428# -->

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309#

#cos 3x = cos 972 = - 0.309#。证明

回答：

#rarrx =（2n + 1）pi / 5，（2n + 1）pi# #nrarrZ#

说明：

#rarrsin ^ 4X-COS ^ 4倍= cos3x#

#rarr（SIN ^ 2×+ COS ^ 2×）（SIN ^ 2X-COS ^ 2×）= cos3x#

#RARR-cos2x = cos3x#

#rarrcos3x + cos2x = 0#

#rarr2cos（（3×+ 2×）/ 2））* COS（（3×-2×）/ 2））= 0#

#rarrcos（（5×）/ 2）* COS（X / 2）= 0#

或 #cos（（5×）/ 2）= 0#

#rarr（5×）/ 2 =（2N + 1）PI / 2#

#rarrx =（2N + 1）PI / 5# #nrarrZ#

#rarrcos（X / 2）= 0#

#rarrx / 2 =（2N + 1）PI / 2#

#rarrx =（2N + 1）PI# #nrarr#

回答：

一般的解决方案不需要三角公式，而且是

#x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k# 要么 #x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k#

对于整数 #K#.

说明：

在我自己解决问题之前，我不喜欢读别人的答案。但突然出现了这个问题的特色答案。在我快速浏览的过程中，我没有注意到它看起来很复杂，因为在我看来这是一个相对简单的问题。我会试一试。

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x#

#（sin ^ 2 x + cos ^ 2 x）（sin ^ 2 x - cos ^ 2 x）= cos 3x#

#-cos 2x = cos 3x#

#cos（180 ^ circ - 2x）= cos 3x#

我已经在Socratic工作了几个星期，这正在成为我的主题：一般的解决方案 #cos x = cos a# 是 #x = pm a + 360 ^ circ k quad# 对于整数 #k中。#

#180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k#

#-2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k#

我们分开拿标志。加上第一个：

#x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k#

接下来减去。

#-5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k#

#x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k#

如果你仔细阅读这些内容，你可能会认为我操纵的方式犯了错误 #K#。但是由于 #K# 范围超过所有整数，替换如 #k到-k# 和 #k到k + 1# 是允许的，我把它们放进去以保持标志 #+# 什么时候可以。

校验：

我们来挑选一对来检查。我很讨厌 #cos 36 ^ circ# 是黄金比例的一半，但我不打算完全解决这些问题，只需将它们放入Wolfram Alpha中即可确定。

#x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ#

#sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos（3 * 108）= 0 quad sqrt#

#x = 180 - 2（360）= -540#

#sin ^ 4（-540） - cos ^ 4（-540） - cos（3 * -540）= 0 quad sqrt#