三角形具有顶点A（a，b），C（c，d）和O（0,0）。三角形外接圆的方程和面积是多少？

回答：

#（x-p）^ 2 +（y-q）^ 2 = s quad# 哪里

#p = {d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#q = {a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#s =（（a ^ 2 + b ^ 2）（c ^ 2 + d ^ 2）（（a-c）^ 2 +（b-d）^ 2））/（4（ad-b c）^ 2）#

#A = pi s#

说明：

我概括了这个问题;让我们看看这是怎么回事。我在原点处留下了一个顶点，这使得它不那么混乱，任意三角形都很容易翻译。

三角形当然对这个问题完全不重要。外接圆是通过三个点的圆，恰好是三个顶点。三角形确实在解决方案中出现了惊喜。

一些术语：外接圆称为三角形 外接圆 它的中心是三角形的 外心.

具有中心的圆的一般方程 #（P，Q）# 和方形半径 #小号# 是

#（x-p）^ 2 +（y-q）^ 2 = s#

而圆的面积是 #A = pi s。#

我们有三个未知数 #P，Q，S# 我们知道三点，所以我们得到三个方程：

#p ^ 2 + q ^ 2 = s quad# 因为原点在圆圈上。

#（a-p）^ 2 +（b-q）^ 2 = s#

#（c-p）^ 2 +（d-q）^ 2 = s#

让我们解决联立方程。让我们通过扩展和减去对将它们变成两个线性方程，这相当于失败 #P 1 2 + Q ^ 2# 在左边和 #小号# 在右边。

#a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s#

减，

#a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0#

#1/2（a ^ 2 + b ^ 2）= ap + bq#

同样的，

#1/2（c ^ 2 + d ^ 2）= cp + dq#

这是两个未知数的方程。 #AX = K# 有解决方案 #X = A ^ { - 1} K.# 我记得两个矩阵逆矩阵，我不知道如何格式化，

#A ^ { - 1} = 1 / {ad-bc}（stackrel {d，-b} {-c，a}）#

对我们来说意味着

#p = {d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

#q = {a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^ 2）} / {2（ad-bc）}#

和方形的半径

#s = p ^ 2 + q ^ 2#

#s = {（d（a ^ 2 + b ^ 2） - b（c ^ 2 + d ^ 2））^ 2 +（a（c ^ 2 + d ^ 2）-c（a ^ 2 + b ^ 2））^ 2} / {4（ad-bc）^ 2}#

#s =（（a ^ 2 + b ^ 2）（c ^ 2 + d ^ 2）（（a-c）^ 2 +（b-d）^ 2））/（4（ad-b c）^ 2）#

所以一个区域 #PI# 倍数。

如果我们考虑任意三角形会发生什么，我们可以看到表达式变得更加对称 #（A，B），（C，d），（E，F）。# 我们设置 #A = A-E，##b = B-F，##c = C-E，##d = D-F# 但我现在不会这样做。

我会注意到的分子 #小号# 是三角形边的三个平方长度的乘积，以及三角形的分母 #小号# 是三角形平方面积的十六倍。

在Rational Trigonometry中，调用平方长度 quadrances 并且平方区域的十六倍被称为 quadrea。 我们发现外接圆半径的四分之一是三角形的四边形除以其四边形的乘积。

如果我们只需要外接圆的半径或面积，我们可以将结果总结为：

外接圆的方形半径是三角形的平方长度乘以三角形平方区域的十六倍的乘积。

#r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2}#