你怎么证明arcsin x + arccos x = pi / 2？

回答：

如图所示

说明：

让

#arcsinx = THETA#

然后

#X = sintheta = COS（PI / 2-θ）#

#=> arccosx = PI / 2-θ= PI / 2- arcsinx#

#=> arccosx = PI / 2- arcsinx#

#=> arcsinx + arccosx = pi / 2之间#

回答：

当反向触发功能引用主要值时，该陈述为真，但这需要比其他答案提供的更仔细地注意显示。

例如，当逆三角函数被认为是多值时，我们得到更细微的结果

#x = sin（{3 pi} / 4）= cos（pi / 4）= 1 / sqrt {2} quad# 但 #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi。 #

我们必须减去才能得到 #PI / 2#.

说明：

这个比它看起来更棘手。另一个答案并没有给予适当的尊重。

一般惯例是使用小写字母 #arccos（x）的# 和 #arcsin（x）的# 作为多值表达式，每个表达式分别表示余弦或正弦值具有给定值的所有值 #X#.

这些总和的含义实际上是每种可能的组合，而那些并不总是给出 #PI / 2# 他们甚至不会总是给出一个共同的角度 # pi / 2 + 2pi k quad# 整数 #K#，正如我们现在要表明的那样。

让我们先看看它如何与多值反三角函数一起工作。记住一般 # cos x = cos a# 有解决方案 #x = pm a + 2pi k quad# 整数 #K#.

#c = arccos x# 真正意思

#x = cos c#

#s = arcsin x# 真正意思

#x =罪恶#

#y = s + c#

#X# 正在扮演一个真实参数的角色 #-1# 至 #1#。我们想要解决 #Y#，找到所有可能的值 #Y# 有一个 #x，s# 和 #C# 这使得这些联立方程 #x = cos c，x = sin s，y = s + c# 真正。

#sin s = x = cos c#

#cos（ pi / 2 - s）= cos c#

我们使用上面关于余弦相等的一般解。

#pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad# 整数 #K#

#s pm c = pi / 2 - 2pi k#

所以我们得到了更加模糊的结果，

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k#

（允许翻转标志 #k中。#)

让我们现在关注主要值，我用大写字母写：

节目 #text {Arc} text {sin}（x）+ text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2#

对于以通常方式定义的主要值，该陈述确实如此。

总和仅定义（直到我们深入到复数） #-1 le x le 1# 因为有效的正弦和余弦都在这个范围内。

我们将看看等效的每一面

#text {Arc} text {cos}（x）stackrel {？} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）#

我们将采取双方的余弦。

#cos（text {Arc} text {cos}（x））= x#

#cos（pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x））= sin（text {Arc} text {sin}（x））= x#

因此，我们确信无需担心迹象或主要价值

#cos（text {Arc} text {cos}（x））= cos（pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x））#

狡猾的部分，值得尊重的部分，是下一步：

#text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）quad# 还不确定

我们必须谨慎行事。让我们采取积极和消极的态度 #X# 分别。

第一 #0 le x le 1#。这意味着两个反向触发功能的主要值都在第一象限之间 #0# 和 #PI / 2# 受限于第一象限，等余弦意味着相等的角度，因此我们得出结论 #x ge 0，#

#text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）quad#

现在 #-1 le x <0。# 反转符号的主要值在第四象限中，并且对于 #x <0# 我们通常在范围内定义主值

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin}（x）<0#

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin}（x）> 0#

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）> pi / 2#

#pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）le pi#

负反余弦的主要值是第二象限，

# pi / 2 <text {Arc} text {cos}（x）le pi#

因此，我们在第二象限中有两个角度，其余弦相等，我们可以得出结论角度是相等的。对于 #x <0#, #text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2 - text {Arc} text {sin}（x）quad#

无论哪种方式，

#text {Arc} text {sin}（x）+ text {Arc} text {cos}（x）= pi / 2 quad sqrt#