回答：
#3#
说明：
让
#X = SQRT（7 + SQRT（7- SQRT（7 + SQRT（7- SQRT（7- SQRT（7 + … OO#
在那里我们限制我们的解决方案是积极的，因为我们只采取正平方根，即 #X> = 0#。我们有两个方面
#x的^ 2 = 7 + SQRT（7- SQRT（7 + SQRT（7- SQRT（7- SQRT（7 + … OO#
#=>的x ^ 2-7 = SQRT（7- SQRT（7 + SQRT（7- SQRT（7- SQRT（7 + … OO#
这次我们将左手边限制为正，因为我们只想要正方根，即
#的x ^ 2-7> = 0# #=># #x> = sqrt（7）〜= 2.65#
在哪里我们已经消除了可能性 #X <= - SQRT（7）# 使用我们的第一个约束
我们再次平衡双方
#（X ^ 2-7）^ 2#=#7-SQRT（7 + SQRT（7- SQRT（7- SQRT（7 + …….. OO#
#（X ^ 2-7）^ 2-7 = -sqrt（7 + SQRT（7- SQRT（7- SQRT（7 + …….. OO#
重复平方根中的表达式是原始表达式 #X#因此
#（X ^ 2-7）^ 2-7 = -x#
要么
#（X ^ 2-7）^ 2-7 + x = 0的#
该等式的试验解是 #X = -2# 和 #X = + 3# 这导致以下因式分解
#（X + 2）（X-3）（X ^ 2 + X-7）= 0#
在第三个因子上使用二次方程式 #（X ^ 2 + X-7）= 0# 给了我们两个根源：
#（ - 1 + -sqrt（29））/ 2~ = 2.19“和”-3.19#
因此，多项式的四个根 #-3.19…, -2, 2.19…, # 和 #3#。这些值中只有一个满足我们的约束 #x> = sqrt（7）〜= 2.65#因此
#X = 3#
回答：
其他方式
说明：
我想讨论一个棘手的方法，一眼就看出重复的平方根问题，如下所示
#sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + …….. oo#
哪里 #r# 属于以下系列
#3,7,13,21,31…………#，一般术语由。给出
#平方公尺-M + 1# 哪里 #m epsilon N# 和 #M> 1#
特技
如果从给定的数字中减去1 #平方公尺-M + 1# 得到的数字变成了 #平方公尺-M# 是的 #M（M-1）# 这只是两个连续数字的产物，而这两个中较大的一个将是问题的独特解决方案。
当r = #平方公尺-M + 1# 因素 #平方公尺-M + 1-1# = #（M-1）M# 而m就是答案
当r = 3时，因子（3-1）= 2 = 1.2并且2是答案
当r = 7时，因子（7-1）= 6 = 2.3并且3是答案
等等…….
说明
以
#x = sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + …….. oo#
平方双方
#x ^ 2 = r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + …….. oo#
#x ^ 2- r = sqrt（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + …….. oo#
再次平方双方
#（x ^ 2-r）^ 2 = r-sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt）（r-sqrt（r + …….. oo#
#（x ^ 2- r）^ 2-r = -x#
#（x ^ 2- r）^ 2-r + x = 0#
把r = #平方公尺-M + 1#
#（x ^ 2-（m ^ 2-m + 1））^ 2-（m ^ 2-m + 1）+ x = 0#
如果我们将x = m放在该等式的LHS中，则LHS变为
LHS =
#（m ^ 2-（m ^ 2-m + 1））^ 2-（m ^ 2-m + 1）+ m#
#=（取消（m ^ 2） - 取消（m ^ 2）+ m-1））^ 2-（m ^ 2-m + 1-m）#
#=（M-1））^ 2-（M-1）^ 2 = 0#
方程式满足。
因此，m就是答案
我们把
#x = sqrt（7 + sqrt（7- sqrt（7 + sqrt）（7-sqrt ……#
我们很容易看出来
#sqrt（7 + SQRT（7-X））= X#
那么让我们解决这个等式：
#7 + SQRT（7-X）= X ^ 2#
#sqrt（7-X）= X ^ 2-7#
#7-X =（X ^ 2-7）^ 2 = X ^ 4-14x ^ 2 + 49#
#x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0#
这不是一个需要解决的微不足道的方程式。回答问题的其他人之一提到了解决方案3.如果你尝试它，你会发现它是真的。
