设phi_n是谐振子的正确归一化的第n个能量本征函数，并且让psi = hatahata ^（†）phi_n。什么是psi等于？

考虑谐振子Hamiltonian ……

#hatH = hatp ^ 2 /（2mu）+1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2#

#= 1 /（2mu）（hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2）#

现在，定义替换：

#hatx“'”= hatxsqrt（muomega）##' '' '' '##hatp“'”= hatp / sqrt（muomega）#

这给出了：

#hatH = 1 /（2mu）（hatp“'”^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2（hatx“'”^ 2）/（muomega））#

#= omega / 2（hatp“'”^ 2 + hatx“'”^ 2）#

接下来，考虑替换位置：

#hatx“''”=（hatx“'”）/ sqrt（ℏ）##' '' '' '##hatp“''”=（hatp“'”）/ sqrt（ℏ）#

以便 #hatx“''”，hatp“''” hatx“''”hatp“''” - hatp“''”hatx“''”=我#。这给出了：

#hatH = omega / 2（hatp“''”^2cdotℏ+ hatx“''”^2cdotℏ）#

#= 1 /2ℏomega（hatp“''”^ 2 + hatx“''”^ 2）#

以来 #hatp “ ''” ^ 2# 和 #hatx “ ''” ^ 2# 可以将复数共轭的因子考虑在内，定义梯形算子

#hata =（hatx“''”+ ihatp“''”）/ sqrt2##' '' '' '##hata ^（†）=（hatx“''” - ihatp“''”）/ sqrt2#

以便：

#hatahata ^（†）=（hatx“''”^ 2 - ihatx“''”hatp“''”+ ihatp“''”hatx“''”+ hatp“''”^ 2）/ 2#

#=（hatx“''”^ 2 + hatp“''”^ 2）/ 2 +（我hatp“''”，hatx“''”）/ 2#

以来 # - hatx“''”，hatp“''” = hatp“''”，hatx“''” = -i#，最右边的术语是 #1/2#。通过检查，

#hatH =ℏomega（hatahata ^（†） - 1/2）#

可以证明这一点 #hata，hata ^（†） = 1#所以

#hatahata ^（†） - hata ^（†）hata = 1#

#=> hatahata ^（†）= 1 + hata ^（†）hata#

所以：

#color（绿色）（hatH =ℏomega（hata ^（†）hata + 1/2））#

在这里，我们认识到了这种形式 能源 成为：

#E_n =ℏomega（n + 1/2）#

因为从这种形式可以清楚地知道

#hatHphi_n = Ephi_n#,

我们就是这样

#ℏomega（hata ^（†）hata + 1/2）phi_n =ℏomega（n + 1/2）phi_n#

就这样 号码运营商 可以定义为：

#hatN = hata ^（†）hata#

其特征值是量子数 #N# 对于那个本征态。

因此，

#color（蓝色）（psi_n = hatahata ^（†）phi_n）#

#=（1 + hata ^（†）hata）phi_n#

#=（1 + hatN）phi_n#

#=颜色（蓝色）（（1 + n）phi_n）#