质量M和长度L的三个杆连接在一起形成等边三角形。关于轴穿过质心并垂直于三角形平面的系统的惯性矩是多少？

回答：

#1/2 ML ^ 2#

单个杆绕轴穿过其中心并垂直于其的惯性矩是

#1/12 ML ^ 2#

等边三角形的每一边围绕穿过三角形中心并垂直于其平面的轴线

#1 / 12ML ^ 2 + M（L /（2sqrt3））^ 2 = 1/6 ML ^ 2#

（由平行轴定理）。

然后，三角形绕该轴的惯性矩

#3次1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2#

假设杆很薄，每根杆的质心位置都在杆的中心。当杆形成等边三角形时，系统的质心将位于三角形的质心处。

让 #d# 质心与任何一侧的距离。

#d /（L / 2）= tan30#

#=> d = L / 2tan30#

#=> d = L /（2sqrt3）# …..(1)

使用平行轴线的单个杆绕垂直于三角形平面的质心的轴的惯性矩是

#I_ “杆”= I_ “厘米” + MD ^ 2#

有三个类似放置的杆，因此三个杆的总惯性矩将是

#I_ “系统”= 3（I_ “厘米” + MD ^ 2）#

#=> I_ “系统”= 3I_ “厘米” + 3MD ^ 2# …….(2)

使用（1）的第二项是

#3MD ^ 2 = 3M（L /（2sqrt3））^ 2#

#=> 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2# …..(3)

由于一根杆围绕其质心的惯性矩是

#I_ “厘米”= 1 / 12ML ^ 2#

（2）中的第一项变为

#3I_ “厘米”= 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2# ….(4)

使用（3）和（4），等式（2）变为

#I_“system”= 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2#