等腰三角形的两个角在（1,3）和（9,4）处。如果三角形的面积是64，那么三角形边的长度是多少？

回答：

三角形边的长度为：

#sqrt（65），sqrt（266369/260），sqrt（266369/260）#

说明：

两点之间的距离 #（x_1，y_1）# 和 #（x_2，y_2）# 由距离公式给出：

#d = sqrt（（x_2-x_1）^ 2 +（y_2-y_1）^ 2）#

所以之间的距离 #（x_1，y_1）=（1,3）# 和 #（x_2，y_2）=（9,4）# 是：

#sqrt（（9-1）^ 2 +（4-3）^ 2）= sqrt（64 + 1）= sqrt（65）#

这是一个比一个大一点的无理数 #8#.

如果三角形的另一边长度相同，则三角形的最大可能区域为：

#1/2 * sqrt（65）^ 2 = 65/2 <64#

所以情况并非如此。相反，其他两边的长度必须相同。

给出一个带边的三角形 #a = sqrt（65），b = t，c = t#，我们可以使用Heron的公式找到它的区域。

苍鹭配方告诉我们一个三角形的面积 #a，b，c# 和半周长 #s = 1/2（a + b + c）# 是（谁）给的：

#A = sqrt（s（s-a）（s-b）（s-c））#

在我们的例子中，半周长是：

#s = 1/2（sqrt（65）+ t + t）= t + sqrt（65）/ 2#

和苍鹭的公式告诉我们：

#64 = 1 / 2sqrt（（t + sqrt（65）/ 2）（t-sqrt（65）/ 2）（sqrt（65）/ 2）（sqrt（65）/ 2））#

#color（white）（64）= 1 / 2sqrt（65/4（t ^ 2-65 / 4））#

将两端相乘 #2# 要得到：

#128 = sqrt（65/4（t ^ 2-65 / 4））#

正方形两边得到：

#16384 = 65/4（t ^ 2-65 / 4）#

将双方乘以 #4/65# 要得到：

#65536/65 = t ^ 2-65 / 4#

转置并添加 #65/4# 双方得到：

#t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260#

取两边正方根得到：

#t = sqrt（266369/260）#

所以三角形边的长度是：

#sqrt（65），sqrt（266369/260），sqrt（266369/260）#

替代方法

我们可以如下推理，而不是使用Heron的公式：

鉴于等腰三角形的基数是长度的：

#sqrt（8 ^ 2 + 1 ^ 2）= sqrt（65）#

该地区是 #64 = 1/2“基础”xx“高度”#

所以三角形的高度是：

#64 /（1/2 sqrt（65））= 128 / sqrt（65）=（128sqrt（65））/ 65#

这是三角形的垂直平分线的长度，它穿过底座的中点。

因此，另外两个边形成两个带有腿的直角三角形的斜边 #sqrt（65）/ 2# 和 #（128sqrt（65））/ 65#

因此，毕达哥拉斯的每一方都很长：

#sqrt（（sqrt（65）/ 2）^ 2 +（（128sqrt（65））/ 65）^ 2）= sqrt（65/4 + 65536/65）= sqrt（266369/260）#