三角形在（4,1），（2,4）和（0,2）#处具有角。三角形垂直平分线的端点是什么？

回答：

简单的终点是中点， #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# 更加困难的是平分线与其他方面相遇的地方，包括 #(8/3,4/3).#

说明：

通过三角形的垂直平分线，我们可能意味着三角形每边的垂直平分线。因此每个三角形有三个垂直平分线。

每个垂直平分线被定义为在其中点处与一侧相交。它也将与其他一方交叉。我们假设这两个会议是终点。

中点是

#D = frac 1 2（B + C）=（（2 + 0）/ 2，（4 + 2）/ 2）=（1,3）#

#E = frac 1 2（A + C）=（2,3 / 2）#

#F = frac 1 2（A + B）=（3,5 / 2）#

这可能是了解线和线段参数化表示的好地方。 #T# 是一个参数，可以超过实数（对于一条线）或从 #0# 至 #1# 对于线段。

让我们标记点数 #A（4,1）#, #B（2,4）# 和 #C（0,2）#。三方是：

#AB：（x，y）=（1-t）A + tB#

#AB：（x，y）=（1-t）（4,1）+ t（2,4）=（4-2t，1 + 3t）#

#BC：（x，y）=（1-t）（2,4）+ t（0,2）=（2-2t，4-2t）#

#AC：（x，y）=（1-t）（4,1）+ t（0,2）=（4-4t，1 + t）#

如 #T# 从零到一，我们追踪到每一边。

让我们一起工作吧。 #d# 是中点 #公元前#, #D = frac 1 2（B + C）=（（2 + 0）/ 2，（4 + 2）/ 2）=（1,3）#

从C到B的方向向量是 #B-C =（2,2）#。对于垂直，我们翻转两个系数（这里没有效果，因为它们都是 #2#）否定一个。所以垂直方程的参数方程

#（x，y）=（1,3）+ t（2，-2）=（2u + 1，-2u + 3）#

（不同的线，不同的参数。）我们可以看到这与每个方面的相遇。

#BC：（2-2t，4-2t）=（2u + 1，-2u + 3）#

#1 = 2t + 2u#

#1 = 2t - 2u#

#2 = 4t#

#t = 1/2#

#t = 1/2# 验证垂直平分线在其中点处与BC相遇。

#AB：（4-2t，1 + 3t）=（2u + 1，-2u + 3）#

#4-2t = 2u + 1#

#2t + 2u = 3#

#1 + 3t = - 2u + 3#

#3t + 2u = 2#

减，

#t = 2-3 = - 1#

这超出了范围，因此BC的垂直平分线不会碰到AB侧。

#AC：4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u#

#1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u#

减，

#1 = 3t#

#t = 1/3#

这给了另一个端点

#（4-4t，1 + t）=（8 / 3,4 / 3）#

这已经很久了，所以我会把剩下的两个端点留给你。