在（1,3），（5,7）和（9,8）＃处有角的三角形的中心点是什么？
（-10 / 3,61 / 3）重复点：A（1,3）B（5,7）C（9,8）三角形的中心点是高度线相对于每一侧的点（穿过相对的顶点）见面。所以我们只需要2行方程。线的斜率是k =（Δy）/（Δx），并且垂直于第一线的线的斜率是p = -1 / k（当k！= 0时）。 AB-> k_1 =（7-3）/（5-1）= 4/4 = 1 => p_1 = -1 BC-> k =（8-7）/（9-5）= 1/4 => p_2 = -4线的方程（通过C），其中高度垂直于AB（y-y_C）= p（x-x_C）=>（y-8）= - 1 *（x-9）=> y = -x + 9 + 8 => y = -x + 17 [1]线的方程（通过A），其中高度垂直于BC（y-y_A）= p（x-x_A）=>（ y-3）= - 4 *（x-1）=> y = -4x + 4 + 3 => y = -4x + 7 [2]组合方程[1]和[2] {y = -x + 17 {y = -4x + 7 => -x + 17 = -4x + 7 => 3x = -10 => x = -10 / 3 - > y = 10/3 + 17 =（10 + 51）/ 3 = > y = 61/3因此，中心点P_“orthocenter”为（-10 / 3,61 / 3）
在（1,3），（6,2）和（5,4）处有角的三角形的中心点是什么？
（x，y）=（47 / 9,46 / 9）设：A（1,3），B（6,2）和C（5,4）是三角形ABC的顶点：通过点的直线的斜率：（x_1，y_1），（x_2，y_2）：m =（y_2-y_1）/（x_2-x_1）AB的斜率：=（2-3）/（6-1）= - 1/5垂直斜率从C到AB的高度的等式：y-y_1 = m（x-x_1）=> m = 5，C（5,4）：y-4 = 5（x-5）y = 5x- 21 BC的斜率：=（4-2）/（5-6）= - 2垂直线的斜率为1/2。从A到BC的高度方程：y-3 = 1/2（x-1）y =（1/2）x + 5/2等于y的高度的交点：5x-21 =（1/2） x + 5/2 10x-42 = x + 5 9x = 47 x = 47/9 y = 5 * 47 / 9-21 y = 46/9因此，中心点位于（x，y）=（47/9， 46/9）要检查答案，您可以找到从B到AC的高度方程，并找到与其他高度之一的交点。
在（1,4），（5,7）和（2,3）＃处有角的三角形的中心点是什么？
Orthocenter是（11 / 7,25 / 7）给出了三个顶点，我们需要获得两个高度线性方程来求解Orthocenter。从（1,4）到（5,7）和点（2,3）的斜率的一个负倒数给出了高度方程。 （y-3）= - 1 /（（7-4）/（5-1））*（x-2）y-3 = -4 / 3（x- 2）3y-9 = -4x + 8 4x + 3y = 17“”第一个等式从（2,3）到（5,7）和点（1,4）的斜率的另一个负倒数给出了另一个高度方程。 y-4 = -1 /（（7-3）/（5-2））*（x-1）y-4 = -1 /（4/3）*（x-1）y-4 = -3 / 4 *（x-1）4y-16 = -3x + 3 3x + 4y = 19“”第二个等式使用第一个和第二个等式求解正中心4x + 3y = 17“”第一个等式3x + 4y = 19“”第二个等式使用减法12x + 9y = 51第一个等式的消除方法将每个项乘以3下划线（12x + 16y = 76）后的第二个等式将每个项乘以4 0x-7y = -25 7y = 25 y = 25/7使用4x + 3y = 17“”第一个等式求解x并且y = 25/7 4x + 3（25/7）= 17“”4x + 75/7 = 17 4x = 17-75 / 7 x =（119- 75）/ 28 x = 44/28 x = 11/7正中心是（11 / 7,25 / 7）上帝赐福......我希望这