三角形A的面积为4，长度为8和4。三角形B类似于三角形A并且具有长度为13的边。三角形B的最大和最小可能区域是多少？

回答：

#“Max”= 169/40（5 + sqrt15）~~ 37.488#

#“Min”= 169/40（5 - sqrt15）~~ 4.762#

说明：

让三角形的顶点 #一个# 被贴上标签 P |, #Q |, #R·，与 #PQ = 8# 和 #QR = 4#.

使用苍鹭的公式，

#“Area”= sqrt {S（S-PQ）（S-QR）（S-PR）}#，哪里

#S = {PQ + QR + PR} / 2# 是半边，

我们有

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2#

从而，

#sqrt {S（S-PQ）（S-QR）（S-PR）}#

#= sqrt {（{12 + PQ} / 2）（{12 + PQ} / 2-8）（{12 + PQ} / 2-4）（{12 + PQ} / 2-PQ）}#

#= sqrt {（12 + PQ）（PQ - 4）（4 + PQ）（12 - PQ）} / 4#

#=“Area”= 4#

解决 #C#.

#sqrt {（144 - PQ ^ 2）（PQ ^ 2 - 16）} = 16#

#（PQ ^ 2 - 144）（PQ ^ 2 - 16）= - 256#

#PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256#

#（PQ ^ 2）^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0#

完成广场。

#（（PQ ^ 2）^ 2 - 80）^ 2 + 2560 = 80 ^ 2#

#（（PQ ^ 2）^ 2 - 80）^ 2 = 3840#

#PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15# 要么 #PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15#

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915# 要么

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246#

这表明有两种可能的三角形满足给定的条件。

在三角形的最大面积为的情况下，我们希望长度为13的边与三角形的边PQ相似 #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246#.

因此，线性比例是

#13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061#

因此，该面积被放大到一个因子，即线性比例的平方。因此，最大面积三角形B可以具有

#4 xx（13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}）^ 2 = 169/40（5 + sqrt15）~~ 37.488#

类似地，在三角形的最小面积为的情况下，我们希望长度为13的边与三角形的边PQ相似 #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915#.

因此，线性比例是

#13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091#

因此，该面积被放大到一个因子，即线性比例的平方。因此，最小面积三角形B可以具有

#4 xx（13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}）^ 2 = 169/40（5 - sqrt15）~~ 4.762#