三角形A的面积为9，两边长度为6和9。三角形B类似于三角形A并且具有长度为12的边。三角形B的最大和最小可能区域是多少？

回答：

敏 #= frac {144（13 -8 sqrt {2}）} {41} about 5.922584784 …#

马克斯 #= frac {144（13 + 8 sqrt {2}）} {41} 约85.39448839 …#

说明：

鉴于：

#Area _ { triangleA} = 9#

边长 # triangleA# 是 #X，Y，Z#

#X = 6，Y = 9#

边长 # triangleB# 是 #U，V，W#

#U = 12#

# triangle A text {similar} triangle B#

先解决 #Z}#:

使用苍鹭的公式： #A = sqrt {S（S-A）（S-B）（S-C）# 哪里 #S = frac {A + B + C} {2}# ，区域9，以及侧面6和9。

#S = frac {15 + z} {2}#

#9 = sqrt {（ frac {15 + Z} {2}）（ frac {Z + 3} {2}）（ frac {Z - 3} {2}）（ frac {15 - z} { 2}）#

#81 = frac {（225-Z ^ 2）（Z ^ 2 - 9）} {16}#

#1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025#

#-Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0#

让 #u = Z ^ 2#, #-u ^ 2 + 234u-3321 = 0#

使用二次方程式

#u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}#

#u = 9（13-8 sqrt {2}），u = 9（8 sqrt {2} +13）#

#Z = sqrt {u}# 拒绝否定解决方案 #Z> 0#

#Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}，Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}#

从而 #Z 约3.895718613# 和 # 14.79267983 # 分别

#因为三角形A text {similar} triangle B，Area _ { triangle B} = k ^ 2 * Area _ { triangleA}# 哪里 #K# 是调整大小的因素

#k = 12 / s# 按升序排列的地方： #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}，6,9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}}#

或以十进制形式： #s in {3.895718613,6,9,14.79267983}#

价值越大 #小号# ，面积越小，值越小 #小号# ，面积越大，

因此，尽量减少区域选择 #s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}#

并最大化区域选择 #s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}#

因此，最小面积 #= 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2#

#= frac {144（13 -8 sqrt {2}）} {41} about 5.922584784 …#

和最大面积 #= 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2#

#= frac {144（13 + 8 sqrt {2}）} {41} 约85.39448839 …#