Psi（x，t）= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）新问题？

#一个）#

你只需要服用 #Psi ^ “*” 幽#.

#color（蓝色）（Psi ^“*”Psi）= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L） e ^ - （iomega_2t） ^“*”sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）#

#= sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）e ^（iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^（iomega_2t） sqrt（1 / L） sin（（pix）/ L）e ^ - （iomega_1t）+ sqrt（1 / L）sin（（2pix）/ L）e ^ - （iomega_2t）#

#= 1 / Lsin ^ 2（（pix）/ L）+ 1 / L（（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（i（omega_1-omega_2）t）+ 1 / L sin（ （pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（i（omega_2-omega_1）t）+ 1 / L sin ^ 2（（2pix）/ L）#

#= color（蓝色）（1 / L sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L） + 1 / L sin（（pix）/ L）sin（（2pix） / L）e ^（i（omega_1-omega_2）t）+ e ^（i（omega_2-omega_1）t））#

#B）#

只需先了解能量，即动作的常数，就可以用最少的努力找到这个时期。

的能量 #phi_1 = sqrt（1 / L）sin（（pix）/ L）# 是 #E_1 =（1 ^ 2pi ^2ℏ^ 2）/（4mL ^ 2）#，和的能量 #phi_2# 是 #4E_1#。因此，频率 #omega_2# 的 #phi_2# 是的四倍 #phi_1# (#omega_1#).

结果，期间 #T_1 =（2pi）/（omega_1）# 的 #phi_1# 是的四倍 #phi_2# (#T_2 =（2pi）/（omega_2）#，也是一个时期 #phi_2#.

因此这段时间 #color（蓝色）（T =（2pi）/（omega_1））#.

#C）#

我会让你自己插上这个 #t _“*”= pi / 2（E_2-E_1）#。你不需要做任何事情……

我们知道 #T =（2pi）/（omega_1）#， 然后 #（iEt）/ℏ= iomegat#所以

#E_n =omega_nℏ#.

结果是，

#pi /（2（E_2-E_1））= pi /（2（omega_2-omega_1）ℏ）#

和

#color（蓝色）（t _“*”/ T）= pi /（2（omega_2-omega_1）ℏ）cdot（omega_1）/（2pi）#

#= 1 /（2（4omega_1-omega_1）ℏ）cdot（omega_1）/（2）#

#= omega_1 /（4ℏ（3omega_1））#

#=颜色（蓝色）（1 /（12ℏ））#

#D）#

找到粒子的概率 #0，L / 2# 给出为

#int_（0）^（L / 2）Psi ^“*”Psidx#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin （（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）e ^（ - 3iomega_1t）+ e ^（3iomega_1t） dx#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）sin ^ 2（（pix）/ L）+ sin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）2sin （（PIX）/ L）SIN（（2pix）/ L）COS（3omega_1t）DX#

前两个项是对称的，幅度和收益的一半 #50%# 总体。

第三项将具有静止状态概率 #4 /（3PI）#，和 #COS# 是一个任意的相位因子。因此，整体概率是

#=颜色（蓝色）（0.50 + 4 /（3pi）cos（3omega_1t））#

#E）#

#color（蓝色）（<< x >>）= << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >>#

#= 1 / Lint_（0）^（L / 2）xsin ^ 2（（pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）xsin ^ 2（（2pix）/ L）dx + 1 / Lint_（0）^（L / 2）2xsin（（pix）/ L）sin（（2pix）/ L）cos（3omega_1t）dx#

对此没有简单的解决方案…原来是：

#= L /（4pi ^ 2）+ L / 8 + （2L）/（3pi） - （8L）/（9pi ^ 2） cos（3omega_1t）#

#=颜色（蓝色）（（（2 + pi ^ 2）L）/（8pi ^ 2）+ （（6pi-8）L）/（9pi ^ 2） cos（3omega_1t））#

#F）#

在 #x = L / 2#， #罪# 条款去 #sin（pi / 2）= 1# 并 #sin（pi）= 0#， 分别。

以来 #sin（pi）= 0#，时间依赖的部分 #Psi ^ “*” 幽# 消失，与时间无关的部分保留 #1 / L# 作为概率密度。