什么是（sqrt3 -i）的立方根？

我首先将数字转换为三角形：

#z中= SQRT（3）-i = 2 cos（-pi / 6）+ ISIN（-pi / 6）#

此数字的立方根可以写为：

#z中^（1/3）#

现在考虑到这一点，我使用三角形形式的复数的n次幂公式：

#z中^ N = R ^ N COS（ntheta）+ ISIN（ntheta）# 赠送：

#z中^（1/3）= 2 ^（1/3）COS（-pi / 6×1/3）+ ISIN（-pi / 6×1/3） =#

#= 2 ^（1/3）COS（-pi / 18）+ ISIN（-pi / 18）#

矩形是： #4.2-0.7i#

我不能完全同意Gió的答案，因为它不完整而且（正式）错误。

正式错误在于使用 De Moivre的公式 使用非整数指数。 De Moivre的公式只能应用于整数指数。有关维基百科页面的详细信息

在那里你会找到公式的部分扩展，以便处理 #N# - 根（它涉及一个额外的参数 #K#）：如果 #z = r（cos theta + i sin theta）#， 然后

#z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n}（cos（（theta + 2 k pi）/ n）+ i sin（（theta + 2 k pi）/ n））# 哪里 #k = 0，…，n-1#.

一个（在某种意义上说 该 复数的非常基本的属性是 #N#根源有…… #N# 根（解决方案）！参数 #K# （因人而异 #0# 和 #N-1#所以 #N# 值）让我们在一个公式中总结它们。

所以立方体根有三个解决方案，只找到其中 一个是不够的：它只是“#1/3# 解决方案“。

我将在下面写下我的解决方案提案。欢迎评论！

正如Gió正确建议的那样，第一步是表达 #z中= SQRT {3} -i# 以三角形式 #r（cos theta + i sin theta）#。处理根时，三角形（几乎）总是一个有用的工具（与指数一起）。你得到：

#R = SQRT {X ^ 2 + Y ^ 2} = SQRT {（SQRT {3}）^ 2 +（ - 1）^ 2} = SQRT {3 + 1} = SQRT {4} = 2#

#theta = arctan（y / x）= arctan（ - 1 / sqrt {3}）= - pi / 6#

所以 #z = r（cos theta + i sin theta）= 2（cos（-pi / 6）+ i sin（-pi / 6））#

现在你要计算根。通过上面报告的公式，我们得到：

#z ^ {1/3} = r ^ {1/3}（cos（（theta + 2 k pi）/ 3）+ i sin（（theta + 2 k pi）/ 3））= 2 ^ {1 / 3}（cos（（-pi / 6 + 2 k pi）/ 3）+ i sin（（-pi / 6 + 2 k pi）/ 3））#

哪里 #k = 0,1,2#。所以有三种不同的价值观 #K# (#0#, #1# 和 #2#），生出三个不同的复杂根源 #z#按:

#z_0 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 0）/ 3）+ i sin（（ - pi / 6 + 0）/ 3））= 2 ^ {1/3}（cos （-pi / 18）+我犯罪（-pi / 18））#

#z_1 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 2 pi）/ 3）+ i sin（（-pi / 6 + 2 pi）/ 3））= 2 ^ {1/3} （cos（-11/18 pi）+ i sin（-11/18 pi））#

#z_2 = 2 ^ {1/3}（cos（（-pi / 6 + 4 pi）/ 3）+ i sin（（ - pi / 6 + 4 pi）/ 3））= 2 ^ {1/3} （cos（-23/18 pi）+ i sin（-23/18 pi））#

#Z_0#, #Z_1# 和 #Z_2# 是三种解决方案。

公式的几何解释 #N# 根对于在复平面中绘制解决方案非常有用。该图还非常精确地指出了公式的属性。

首先，我们可以注意到所有解决方案都具有相同的距离 #R 1 {1 / N}# （在我们的例子中 #2^{1/3}#）从起源。所以他们都躺在半径的圆周上 #R 1 {1 / N}#。现在我们必须指出 哪里 将它们放在这个圆周上。我们可以通过以下方式重写正弦和余弦的参数：

#z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n}（cos（theta / n +（2pi）/ n k）+ i sin（theta / n +（2pi）/ n k））#

“第一”根对应于 #K = 0#:

#z_0 = r ^ {1 / n}（cos（theta / n）+ i sin（theta / n））#

通过添加角度可以从中获得所有其他根 #（2PI）/ N# 递归到角度 #THETA / N# 相对于第一个根 #Z_0#。所以我们正在前进 #Z_0# 在圆周上旋转 #（2PI）/ N# 弧度（#（360度）/ n的#）。所以这些点位于常规顶点上 #N#边形。鉴于其中之一，我们可以找到其他人。

在我们的情况下：

蓝色角度在哪里 #THETA / N = -pi / 18# 洋红色是 #（2pi）/ n = 2/3 pi#.