等腰三角形具有边A，B和C，边B和C的长度相等。如果A面从（1,4）到（5,1）并且三角形的面积是15，那么三角形的第三个角的可能坐标是什么？

回答：

两个顶点形成一个长度为5的底座，因此高度必须为6才能得到区域15.脚是点的中点，垂直方向上的六个单位给出 # (33/5, 73/10)# 要么 #(- 3/5, - 23/10) #.

说明：

专业提示：尝试坚持三角形边的小写字母和三角形顶点的大写字母的惯例。

我们给了两个点和一个等腰三角形的区域。这两点构成了基础， #B = SQRT {（5-1）^ 2 +（1-4）^ 2} = 5#

脚 #F# 海拔高度是两点的中点，

#F =（（1 + 5）/ 2，（4 + 1）/ 2）=（3,5 / 2）#

点之间的方向矢量是 #(1-5, 4-1)=(-4,3)# 刚刚计算出的幅度为5。我们通过交换点并取消其中一个来获得垂直的方向向量： #(3,4)# 其中也必须有五级。

自该地区 #A = frac 1 2 b h = 15# 我们得到 #H =（2 * 15）/b=6.#

所以我们需要搬家 #6# 单位来自 #F# 在任何垂直方向上获得我称之为的第三个顶点 #C#:

#C = F pm 6 frac {（3,4）} {5} =（3,5 / 2） pm 6/5（3,4）#

#C =（33 / 5,73 / 10）或C =（ - 3/5， - 23/10）#

校验： #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

签名区域是交叉产品的一半

#A = frac 1 2（4（-63/10） - （-3）（ - 8/5））= - 15 quad sqrt {}#

那是结束，但让我们稍微概括一下答案。让我们忘记它是等腰。如果我们有C（x，y），则该区域由鞋带公式给出：

#A = frac 1 2 | （1）（1） - （4）（5）+ 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

该地区是 #15#:

# pm 15 = 1/2（3x + 4y - 19）#

#19 pm 30 = 3x + 4y#

#49 = 3x + 4y# 要么 #-11 = 3x + 4y#

因此，如果顶点C在这两条平行线中的任何一条上，我们将得到一个面积为15的三角形。

让 #PR = A# 是具有如下端点坐标的等腰三角形的一侧

#Pto（1,4）# 和 #Rto（5,1）#

设三角形的第三个点的坐标为 #（X，Y）#.

如 #（X，Y）# 我们可以写出与P和R等距的

#（X-1）^ 2 +（Y-4）^ 2 =（X-5）^ 2 +（Y-1）^ 2#

#=>的x ^ 2-2x + 1 + Y ^ 2-8y + 16 = X ^ 2-10x + 25 + Y ^ 2-2y + 1#

#=> 8X-6Y = 9#

#=> X =（9 + 6Y）/ 8 …… 1#

再次 #（X，Y）# 与P和R等距离，垂线从 #（X，Y）# 至 #PR# 必须将它平分，让这个脚的垂直或中点 #PR# 是 #T#

所以坐标 #Tto（3,2.5）#

现在是等腰三角形的高度

#H = SQRT（（X-3）^ 2 +（Y-2.5）^ 2）#

和等腰三角形的基础

#PR = A = SQRT（（1-5）^ 2 +（4-1）^ 2）= 5#

所以问题就在于它的区域

#1 / 2xxAxxH = 15#

#=> H = 30 / A = 30/5 = 6#

#sqrt（（X-3）^ 2 +（Y-2.5）^ 2）= 6#

#=>（X-3）^ 2 +（Y-2.5）^ 2 = 36 … 2#

我们得到了2和1

#（（9 + 6Y）/ 8-3）^ 2 +（Y-2.5）^ 2 = 36#

#=> 1/64（6Y-15）^ 2 +（Y-2.5）^ 2 = 36#

#=>（6Y-15）^ 2 + 64（Y-2.5）^ 2 = 36xx64#

#=> 36Y ^ 2-180y + 225 + 64Y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2#

#=> 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2#

#=> Y 1 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2#

#=>（Y-2.5）^ 2 = 4.8 ^ 2#

#=> Y = 2.5pm4.8#

所以 #y = 7.3，y = -2.3#

什么时候 #Y = 7.3#

#X =（9 + 6xx7.3）/8=6.6#

什么时候 #Y = -2.3#

#X =（9 + 6XX（-2.3））/ 8 = -0.6#

所以第三点的坐标就是

#（6.6,7.3）到“Q in figure”#

要么

#（ - 0.6，-2.3）到“S in the figure”#

项目A比项目B多花费15％。项目B费用比项目C多0.5欧元。所有3项（A，B和C）一起花费5.8欧元。 A项费用是多少？

A = 2.3给定：A = 115 / 100B“”=>“”B = 100 / 115A B = C + 0.5“”=>“”C = B-1/2 A + B + C = 5.8 ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~代替C A + B + C = 5 8 / 10“” - >“”A + B +（B-1/2）= 5 4/5代替B A + B +（B-1/2）= 5 4 / 5-> A + 100 / 115A + 100 / 115A-1/2 = 5 4/5 A（1 + 200/115）= 5 4/5 + 1/2 315 / 115A = 6 3/10 A = 2 3/10 = 2.3

假设你有一个带边的traint：a，b和c。使用毕达哥拉斯定理你可以从下面的不等式推导出什么？ i）a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ii）a ^ 2 + b ^ 2 lt c ^ 2 iii）a ^ 2 + b ^ 2 gt c ^ 2

请看下面。（i）由于我们有^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2，这意味着两边a和b的平方和在第三边c上等于平方。因此，/ _C对面c将是直角。假设不是这样，那么从A到BC画一条垂线，让它在C'处。现在根据毕达哥拉斯定理，a ^ 2 + b ^ 2 =（AC'）^ 2。因此，AC'= c = AC。但这是不可能的。因此，/ _ACB是直角，Delta ABC是直角三角形。让我们回顾三角形的余弦公式，其表明c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC。（ii）由于/ _C的范围是0 ^ @ <C <180 ^ @，如果/ _C是钝的，则cosC是负的，因此c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | cosC |。因此，a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2表示/ _C是钝的。让我们使用毕达哥拉斯定理来检查它并用/ _C> 90 ^ @绘制DeltaABC并在扩展BC上垂直绘制AO，如图所示。现在根据毕达哥拉斯定理a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 =（BO-OC）^ 2 + AC ^ 2 = BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 = BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC（BO-OC）= AB ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC因此a ^ 2 + b ^ 2 <c

等腰三角形具有边A，B和C，边B和C的长度相等。如果A面从（7,1）到（2,9）并且三角形的面积是32，那么三角形的第三个角落的可能坐标是什么？

（1825 / 178,765/89）或（-223 / 178,125 / 89）我们用标准符号重新标记：b = c，A（x，y），B（7,1），C（2,9）。我们有文字{area} = 32。我们的等腰三角形的基础是BC。我们有一个= | BC | = sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} BC的中点是D =（（7 + 2）/ 2，（1 + 9）/ 2）=（9 / 2,5）。 BC的垂直平分线穿过D和顶点A. h = AD是一个高度，我们从该区域得到：32 = frac 1 2 ah = 1/2 sqrt {89} hh = 64 / sqrt {89}从B到C的方向矢量是CB =（2-7,9-1）=（ - 5,8）。它的垂线的方向向量是P =（8,5），交换坐标并否定一个坐标。它的大小也必须是| P | = sqrt {89}。我们需要走向任何一个方向。这个想法是：A = D pm h P / | P | A =（9 / 2,5） pm（64 / sqrt {89}）{（8,5）} / sqrt {89} A =（9 / 2,5） pm 64/89（8,5 ）A =（9/2 + {8（64）} / 89,5 + {5（64）} / 89）或A =（9/2 - {8（64）} / 89,5 - {5（ 64）} / 89）A =（1825 / 178,765/89）或A =（-223 / 178,125 /