你能帮我吗？ INT_0 ^（PI / 2）（E ^（2×）* sinx的）DX

回答：

#=（2E ^（PI）+1）/ 5#

说明：

这需要按部件集成如下。直到最后才会省略限制

#int（E ^（2×）的SiNx）DX#

#COLOR（红色）（I = INTU（DV）/（DX）DX）= UV-INTV（DU）/（DV）DX#

#U = E 1（2×）=>杜= 2E ^（2×）DX#

#（DV）/（DX）= sinx的=> V = -cosx#

#COLOR（红色）（I）= - E 1（2×）cosx + int2e ^（2×）cosxdx#

第二个积分也是由零件完成的

#U = 2E ^（2×）=>杜= 4E ^（2×）DX#

#（DV）/（DX）= cosx => V = sinx的#

#COLOR（红色）（I）= - E 1（2×）cosx + 2E ^（2×）的SiNx-int4e ^（2×）sinxdx#

#COLOR（红色）（I）= - E 1（2×）cosx + 2E ^（2×）的SiNx-4色（红色）（I）#

#:. 5I = E ^（2×）（2sinx-cosx）#

#I =（E ^（2×）（2sinx-cosx））/ 5#

现在把限制放在

#I = （E ^（2×）（2sinx-cosx））/ 5 ^ _0（PI / 2）#

#=（E ^ PI（（2sin（PI / 2）-cos（PI / 2）））/ 5） - （E ^（0）（SIN0-COS0）/ 5）#

#1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1#

#=（2E ^（PI）+1）/ 5#

回答：

#{2E ^ PI + 1} / 5#

说明：

虽然已经提供的答案是完美的，但我只是想指出一种更简单的方法来使用更先进的方法来达到相同的答案 - 通过复杂的数字。

我们从着名的关系开始

#e ^ {ix} = cos（x）+ i sin（x）#

哪里 #I = SQRT {-1}#，并注意到这意味着

#sin（x）= Im（e ^ {ix}）暗示e ^ {2x} sin（x）= Im（e ^ {（2 + i} x））#

哪里 #林# 表示虚部。

所以

#int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin（x）dx = Im（int_0 ^ {pi / 2} e ^ {（2 + i）x} dx）#

#= Im（e ^ {（2 + i）x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}）= Im（{e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+一世}）#

#= Im（{ie ^ pi -1} / {2 + i}次{2-i} / {2-i}）= 1/5 Im（（ - 1 + ie ^ pi）（2-i）） #

#= 1/5（（ - 1）次（-1）+ e ^ pi次2）= {2e ^ pi + 1} / 5#