什么是更大的：1000 ^（1000）或1001 ^（999）？

回答：

#1000^1000 > 1001^999#

说明：

考虑到这个等式

#1000 ^ 1000 = 1001 ^ X#

如果 #x> 999#

然后

#1000^1000 > 1001^999#

其他

#1000^1000 < 1001^999#

将日志转换应用于双方。

#1000 log 1000 = x log 1001#

但

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 /（2！）1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 /（3！）1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 /（n！）（d /（ dx）log x）_（x = 1000）1 ^ n#.

这个系列是交替的，并且迅速收敛

#log1001约log1000 + 1/1000#

代入

#x = 1000 log1000 /（log1000 + 1/1000）= 1000（3000/3001）#

但 #3000/3001 = 0.999667# 所以

#x = 999.667> 999# 然后

#1000^1000 > 1001^999#

回答：

这是使用二项式定理证明的另一种解决方案：

#1001^999 < 1000^1000#

说明：

通过二项式定理：

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

#<1 /（0！）+ 1 /（1！）+ 1 /（2！）+ 1 /（3！）+ … = e ~~ 2.718#

所以：

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color（白色）（1001 ^ 999）=（1 + 1/1000）^ 999 * 1000 ^ 999#

#color（白色）（1001 ^ 999）<e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000#

回答：

#1000^1000 > 1001^999#

说明：

#Use log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 and log 1001 = 3.0004340 …

这里，两者的对数是

#log（1000 ^ 1000）= 1000 log1000 =（1000）（3）= 3000# 和

#log 1001 ^ 999 =（999）（3.0004340 …）= 2997.4#…

由于日志是一个增加的功能，

#1000^1000 > 1001^999#.