什么是f（x）= arctan（x）的泰勒级数？

#F（X）= {sum_ N = 1} ^ infty（-1）^ N {X ^ {2N + 1}} / {2n + 1个}#

我们来看看一些细节。

#F（X）= arctanx#

#F'（X）= 1 / {1 + X ^ 2} = 1 / {1 - （ - X ^ 2）}#

请记住几何动力系列

#1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n#

通过替换 #X# 通过 #-x ^ 2#, #Rightarrow 1 / {1 - （ - x ^ 2）} = sum_ {n = 0} ^ infty（-x ^ 2）^ n = sum_ {n = 0} ^ infty（-1）^ nx ^ {2n} #

所以，

#F'（X）= {sum_ N = 0} ^ infty（-1）^ NX ^ {2N}#

通过整合，

#f（x）= int sum_ {n = 0} ^ infty（-1）^ nx ^ {2n} dx#

通过将积分符号放在求和中，

#= sum_ {n = 0} ^ infty int（-1）^ n x ^ {2n} dx#

通过权力规则，

#= sum_ {N = 1} ^ infty（-1）^ N {X ^ {2N + 1}} / {2n + 1个} + C#

以来 #F（0）=反正切（0）= 0#, #f（0）= sum_ {n = 1} ^ infty（-1）^ n {（0）^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0#

因此，

#F（X）= {sum_ N = 1} ^ infty（-1）^ N {X ^ {2N + 1}} / {2n + 1个}#