令P为圆锥上的任何点r = 12 /（3-sin x）。设F 1和F 2分别为点（0,0°）和（3,90°）。表明PF¹和PF²= 9？

回答：

#r = 12 / {3-sin theta}#

我们被要求展示 #| PF_1 | + | PF_2 | = 9#，即 P | 用焦点扫出一个椭圆 #F_1# 和 #F_2。# 见下面的证明。

说明：

让我们解决一下我猜的是一个错字并说出来 #P（r，theta）# 满足

#r = 12 / {3-sin theta}#

正弦的范围是 #pm 1# 所以我们总结一下 #4 le r le 6.#

#3r - r sin theta = 12#

#| PF_1 | = | P - 0 | = r#

在直角坐标系中 #P =（r cos theta，r sin theta）# 和 #F_2 =（3 cos 90 ^ circ，3 sin 90 ^ circ）=（0,3）#

#| PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta +（r sin theta - 3）^ 3#

#| PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9#

#| PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9#

#r sin theta = 3r -12#

#| PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6（3r - 12）+ 9#

#| PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 =（r-9）^ 2#

#| PF_2 | = | R-9 |#

#| PF_2 | = 9-r quad# 因为我们已经知道了 #4 le r le 6.#

#| PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt#